Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6

Friedrich Karl Schmidt:

intransitive Untergruppe von 05 genau ein eingliedriges System
der Intransivität.
Man hat ferner:
Hilfs satz. Ist 05 eine Permutationsgruppe in m Symbolen xx, ...x
(m > 1J, bei der jede Permutation, die mindestens zwei Symbole
einzeln fest läßt, gleich der identischen ist und bedeutet § eine Unter-
gruppe von 05, die genau ein eingliedriges System der Intransitivität
besitzt, so haben die mehrgliedrigen Systeme der Intransitivität von
alle die gleiche Gliederzahl und es ist die Ordnung von Sf) ein Teiler
von m— 1.
Sind = {xßp S2, ...Sg die Systeme der Intransitivität von
so enthalten die mehrgliedrigen Systeme S2 ...Sg zusammen genau
m — 1 Symbole. Wir zeigen, daß die Gliederzahl sk jedes Sk für k = 2,
.... g die gleiche, nämlich gleich der Ordnung von b ist, woraus alle
Behauptungen folgen. Bedeutet xk ein Symbol aus Sk > 1J und $k
die Untergruppe aller Permutationen aus <p, die xk ungeändert lassen,
so ist sk = (<p : Da die Permutationen aus $)k die beiden Symbole
und xk einzeln in sich überführen, besteht $Qk aus der identischen
Permutation E allein, d. h. es ist sk = (Jq : E) = Ordnung von
Die Voraussetzungen des Hilfssatzes sind erfüllt, wenn man unter
05 eine transitive auflösbare Gruppe von Primzahlgrad und unter §
eine ihrer intransitiven Untergruppen versteht (vergl. Satz 3).
Satz 4. Sei 05 eine transitive Permutationsgruppe der m-Symbole x},
...., xm (m > 1). Dann und nur dann, wenn jede von der identi-
schen verschiedene Permutation aus G, die kein m-gliedriger Zyklus
ist, genau ein Symbol x€ ungeändert läßt, ist 05 auflösbar und der
Grad m Primzahl.
Das „nur dann“ des Satzes ist als Spezialfall in Satz 3 enthalten.
Um das „dann“ zu beweisen, nehmen wir an, es lasse jede Permutation
aus 05, die weder die identische noch m-gliedriger Zyklus ist, genau ein
Symbol X} ungeändert. Dann ist die identische Permutation offenbar
die einzige, die irgend zwei Symbole einzeln in sich überführt, und wir
brauchen nach bekannten Sätzen nur noch zu zeigen, daß m, Primzahl
ist. Bezeichnet nun q eine in m und somit in der Ordnung von 05 auf-
gehende Primzahl, <p eine Untergruppe der Ordnung q von 05 und H
eine $ erzeugende Permutation, so kann § nach dem Hilfssatz nicht
genau ein eingliedriges System der Intransitivität besitzen, weil q als
Teiler von m zu m — 1 prim ist. H muß daher m-gliedriger Zyklus sein,
d. h. es ist m — q.