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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0013
Über einen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie.
13
gemeinschaftlichen Teiler) aller Quotienten n : (s) für bei. s aus >S
darstellt.
b) Der Quotientenkettensatz für i. K. I. zieht den Teilerkettensatz
für i. K. I. nach sich. — In der Tat, es sei ix, i2, i3, eine
Teilerkette von zu a gehörigen i. K. I., Sn sei das größte m. a.
System, das der Gleichung aSn — xn genügt.1) Dann ist offenbar
stets Obermenge von Sn und aus der multiplikativen Ab-
geschlossenheit sämtlicher Sn ergibt sich, daß auch die Ver-
einigungsmenge £ der Sn m. a. sein muß. Setzen wir nun i = as,
so wird bei Gültigkeit des Quotientenkettensatzes für i. K. I.
i durch ein Element s aus S erzeugt, und für hinreichend großes
n muß s in sämtlichen Systemen Sn, Nw_|_2, vor¬
kommen. Dann aber wird in==i|L_pi = in_|_2 =., die Ideale
(& = 1, 2 ) sind fast alle gleich.
Der Teilerkettensatz für i. K. I. ist also wirklich eine Folge des Quo-
tientenkettensatzes für i. K. I. Dagegen gilt die Umkehrung nicht,
denn man kann mit Hilfe des Teilerkettensatzes für i. K. I. allein nicht
einmal zeigen, daß as durch ein Element erzeugt werden muß, falls $
aus den Potenzen eines einzigen Elements a besteht.
Den Vielfachenkettensatz für i. K. I. und den Quotientenkettensatz
für i. K. I. zusammen wollen wir kurz als den Doppelkettensatz
bezeichnen. Dann können wir feststellen:
Hauptsatz: In 9t läßt sich dann und nur dann jedes Ideal
als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen darstellen,
wenn in 91 der Doppelkettensatz allgemein gilt.
Was zunächst die Notwendigkeit des Doppelkettensatzes angeht, so
ergibt sie sich leicht aus folgenden, im wesentlichen bekannten Tat-
sachen2) :
Es sei a = qx r> q2r>- • . ■ <> qn Durchschnitt der Primärideale ip mit
den zugehörigen Primidealen p< (i = 1, 2 .... w), i n sei ein bei. i. K. I.
von n. Dann ist t entweder gleich 91 oder es wird bei geeigneter Numerie-
rung i = qir>g2r> - • •. (0 <w<^n) und es ist dabei keines der Prim¬
ideale bm + i; Pm + 2) , Vn durch eines der Primideale p15 p2,
pTO teilbar. — Für i = 9i haben wir i = ci : (a), falls a Element von a;
für i =1 9t dagegen gilt die Gleichung t = a : (s), falls s irgendein—stets
existierendes — Element bedeutet, das durch die Ideale qw+i, qm + 2,
, qn, aber durch keines der Primideale p1,p2» , teilbar ist.
x) Sn besteht aus der Gesamtheit der Elemente s, die zu iw prim sind, also der
Gleichung in : (s) = U genügen. Vgl. übrigens K. § 1.
2) Vgl. z. B.: W. Anm. 10!
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gemeinschaftlichen Teiler) aller Quotienten n : (s) für bei. s aus >S
darstellt.
b) Der Quotientenkettensatz für i. K. I. zieht den Teilerkettensatz
für i. K. I. nach sich. — In der Tat, es sei ix, i2, i3, eine
Teilerkette von zu a gehörigen i. K. I., Sn sei das größte m. a.
System, das der Gleichung aSn — xn genügt.1) Dann ist offenbar
stets Obermenge von Sn und aus der multiplikativen Ab-
geschlossenheit sämtlicher Sn ergibt sich, daß auch die Ver-
einigungsmenge £ der Sn m. a. sein muß. Setzen wir nun i = as,
so wird bei Gültigkeit des Quotientenkettensatzes für i. K. I.
i durch ein Element s aus S erzeugt, und für hinreichend großes
n muß s in sämtlichen Systemen Sn, Nw_|_2, vor¬
kommen. Dann aber wird in==i|L_pi = in_|_2 =., die Ideale
(& = 1, 2 ) sind fast alle gleich.
Der Teilerkettensatz für i. K. I. ist also wirklich eine Folge des Quo-
tientenkettensatzes für i. K. I. Dagegen gilt die Umkehrung nicht,
denn man kann mit Hilfe des Teilerkettensatzes für i. K. I. allein nicht
einmal zeigen, daß as durch ein Element erzeugt werden muß, falls $
aus den Potenzen eines einzigen Elements a besteht.
Den Vielfachenkettensatz für i. K. I. und den Quotientenkettensatz
für i. K. I. zusammen wollen wir kurz als den Doppelkettensatz
bezeichnen. Dann können wir feststellen:
Hauptsatz: In 9t läßt sich dann und nur dann jedes Ideal
als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen darstellen,
wenn in 91 der Doppelkettensatz allgemein gilt.
Was zunächst die Notwendigkeit des Doppelkettensatzes angeht, so
ergibt sie sich leicht aus folgenden, im wesentlichen bekannten Tat-
sachen2) :
Es sei a = qx r> q2r>- • . ■ <> qn Durchschnitt der Primärideale ip mit
den zugehörigen Primidealen p< (i = 1, 2 .... w), i n sei ein bei. i. K. I.
von n. Dann ist t entweder gleich 91 oder es wird bei geeigneter Numerie-
rung i = qir>g2r> - • •. (0 <w<^n) und es ist dabei keines der Prim¬
ideale bm + i; Pm + 2) , Vn durch eines der Primideale p15 p2,
pTO teilbar. — Für i = 9i haben wir i = ci : (a), falls a Element von a;
für i =1 9t dagegen gilt die Gleichung t = a : (s), falls s irgendein—stets
existierendes — Element bedeutet, das durch die Ideale qw+i, qm + 2,
, qn, aber durch keines der Primideale p1,p2» , teilbar ist.
x) Sn besteht aus der Gesamtheit der Elemente s, die zu iw prim sind, also der
Gleichung in : (s) = U genügen. Vgl. übrigens K. § 1.
2) Vgl. z. B.: W. Anm. 10!