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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0019
Zur Theorie der metazyklischen Gleichungen von Primzahlgrad II. 19
Setzt man dementsprechend allgemein
(6) 0 ^1) = ^i) 0 1> • • •; P 1)
2
so erhält man bei Anwendung der aus den Vertauschungen (4) er¬
zeugten allgemeinen linearen Permutation ( Xv )1) auf (6, i) wegen
i) V + i/
(k - 0 1 + 2 = (& + 0 (mod p)
(7) = ^u = ^(i+j!;)^±l 0, k = 0,1,p- 1)
was wegen (6,2) offenbar auch für i = k gilt. Da hiermit die Matrix Z
bestimmt ist, ist also auch
(8) C = ae-1 Z96'-1 und 0 06, 0 • = (u) X“1 ZK'-1 (b)'
bekannt. [In I hätte, bei der gleichen Bestimmung, 0(w, v) die ein¬
fache Gestalt angenommen
(9) 0 (u, '0 = /* (w) • /* (0 • 2
1=0,1,. .p —1
fc = 0,l,..p-l
+ Ä)
P + l
2
f' 00 • /■' 00 • (u - x^ (v - xk)
WO f 06) = 06 — Xo) 06 — Xj) ... 06 — Xp_i).]
3. Wenn die xt einer auflösbaren irreduzibelen Gleichung £>-ten
Grades genügen, so hat 0 06,0 (8; 9) „rationale“ Koeffizienten und
stellt, entsprechend dem „Satze von Galois“ die sämtlichen Wurzeln
der Gleichung als „rationale Funktionen“ zweier beliebiger unter ihnen
dar (vergl. I.). Sie ordnet aber insbesondere dem Wurzelpaare x^ xk
gemäß (7) die gleiche Wurzel zu wie dem Paare (xk, x^ und ist infolge-
dessen besonders einfach gebaut. Denn nicht nur Z ist, wie im Bei-
spiel (5), stets symmetrisch und zyklisch, da nach (7) Zki= Zik und
#i+i, Ä_i = Zik ist, sondern auch C ist demgemäß nach (8,1) symmetrisch.
Beachtet man nun, daß in (8,2) 0 06,0 nur ein skalarer Faktor ist,
und transponiert beide Seiten, so wird
0 06, 0 ■ Tn = (b) X“1 ZK'-1 (u)' = 0 0>, u) • T1V
d. h. identisch: 0 06,0=0(026), nicht nur 0 (Xi, xk) = 0 (xk, x^,
und 0 06, v) läßt sich in der Form uv) schreiben. Nur bei
der Festsetzung (7) wird übrigens eine Funktion 0(26,0 von dieser
Eigenschaft erhalten, denn die Permutation ( Xp } ist die einzige
\%i -j- A—vj
lineare Permutation, welche x{ mit xk vertauscht, und sie läßt nur
^(i + fc) ?-+1 in Ruhe.
2
) Der Index von x ist natürlich nötigenfalls (mod p) zu reduzieren.
Setzt man dementsprechend allgemein
(6) 0 ^1) = ^i) 0 1> • • •; P 1)
2
so erhält man bei Anwendung der aus den Vertauschungen (4) er¬
zeugten allgemeinen linearen Permutation ( Xv )1) auf (6, i) wegen
i) V + i/
(k - 0 1 + 2 = (& + 0 (mod p)
(7) = ^u = ^(i+j!;)^±l 0, k = 0,1,p- 1)
was wegen (6,2) offenbar auch für i = k gilt. Da hiermit die Matrix Z
bestimmt ist, ist also auch
(8) C = ae-1 Z96'-1 und 0 06, 0 • = (u) X“1 ZK'-1 (b)'
bekannt. [In I hätte, bei der gleichen Bestimmung, 0(w, v) die ein¬
fache Gestalt angenommen
(9) 0 (u, '0 = /* (w) • /* (0 • 2
1=0,1,. .p —1
fc = 0,l,..p-l
+ Ä)
P + l
2
f' 00 • /■' 00 • (u - x^ (v - xk)
WO f 06) = 06 — Xo) 06 — Xj) ... 06 — Xp_i).]
3. Wenn die xt einer auflösbaren irreduzibelen Gleichung £>-ten
Grades genügen, so hat 0 06,0 (8; 9) „rationale“ Koeffizienten und
stellt, entsprechend dem „Satze von Galois“ die sämtlichen Wurzeln
der Gleichung als „rationale Funktionen“ zweier beliebiger unter ihnen
dar (vergl. I.). Sie ordnet aber insbesondere dem Wurzelpaare x^ xk
gemäß (7) die gleiche Wurzel zu wie dem Paare (xk, x^ und ist infolge-
dessen besonders einfach gebaut. Denn nicht nur Z ist, wie im Bei-
spiel (5), stets symmetrisch und zyklisch, da nach (7) Zki= Zik und
#i+i, Ä_i = Zik ist, sondern auch C ist demgemäß nach (8,1) symmetrisch.
Beachtet man nun, daß in (8,2) 0 06,0 nur ein skalarer Faktor ist,
und transponiert beide Seiten, so wird
0 06, 0 ■ Tn = (b) X“1 ZK'-1 (u)' = 0 0>, u) • T1V
d. h. identisch: 0 06,0=0(026), nicht nur 0 (Xi, xk) = 0 (xk, x^,
und 0 06, v) läßt sich in der Form uv) schreiben. Nur bei
der Festsetzung (7) wird übrigens eine Funktion 0(26,0 von dieser
Eigenschaft erhalten, denn die Permutation ( Xp } ist die einzige
\%i -j- A—vj
lineare Permutation, welche x{ mit xk vertauscht, und sie läßt nur
^(i + fc) ?-+1 in Ruhe.
2
) Der Index von x ist natürlich nötigenfalls (mod p) zu reduzieren.