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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0006
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Boris Kaufmann:
während eine unendliche, zu (P^) fremde Teilfolge Px', P", . . . P",
. . . = (P") derselben außerhalb fast aller Gebiete der das Primende
bestimmenden Gebietskette liegen muß. Es ist nun ohne weiteres
klar, daß keine Teilfolge von (P") gegen Eg konvergieren kann,
so daß eine ihrer Teilfolgen gegen ein von Eg verschiedenes Primende
konvergieren muß.
(2) Es sei Q5X > @2 > . . . > G5„ > . . . eine Kette von Teilge-
bieten des Gebietes 05, welche ein auf dem Rande von Qi enthaltenes
Ende 6g bestimmt. Pj, P'2, . . . P^, . . . = (P'J und P", P2, . . . P”,
. . . = (P") seien zwei gegen das Ende £g konvergierende Punkt-
folgen. Wir wollen uns überzeugen, daß eine Kurve C innerhalb 05
existiert, welche gegen das Ende 6g konvergiert und die beiden
Punktfolgen (P^) und (P") enthält.
Einfachheitshalber sei vorausgesetzt, daß die beiden Punkt-
folgen zueinander fremd und in 05 x enthalten sind.
Für jedes n =1, 2, . . . bestimmen wir den größten Wert
v = vn, für welchen das Gebiet 05 Vn der Kette noch das Punktetrippei
P^, P” und Pq + 1 enthält. Dann verbinden wir den Punkt P^ mit
dem Punkt P^ + x durch einen Weg cn, welcher den Punkt P" ent-
hält und ganz innerhalb Q5Vn verläuft und, von der Stelle P^ selbst
abgesehen, keinen der Wege cx, c2, ... cn_1 und auch keine von
P^, Pu + 1 und P" verschiedenen Punkte der beiden Folgen trifft.
Die Vereinigungsmenge
cx + c2 + . . . + cn + . . . = C
bildet offenbar eine Kurve, welche gegen £g konvergiert und die
beiden Punktfolgen (P'J und (P") enthält.
Ist nur eine gegen ein Ende konvergierende Punktfolge gegeben,
so läßt sich natürlich nach dem Obigen sofort eine Kurve angeben,
welche die betreffende Punktfolge enthält und gegen das Ende
konvergiert.
2. Der erste Invarianzsatz. Wir beweisen jetzt auf Grund der
Behauptungen (1) und (2) in Ziffer 1 den folgenden Satz:
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Invatwnz
der Primenden hei einer gegebenen topologischen Abbildung A des
beschränkten Gebietes Qi auf ein beschränktes Gebiet 05 und bei der
inversen Abbildung A~2 besteht darin, daß jede gegen ein Primende
des Gebietes 05 (bzw. 05) konvergierende Kurve durch die Abbildung A
(bzw. A~y) in eine gegen das Primende des Gebietes Q5 (bziv.
konvergierende Kurve übergeht (Invarianzsatz I).
Boris Kaufmann:
während eine unendliche, zu (P^) fremde Teilfolge Px', P", . . . P",
. . . = (P") derselben außerhalb fast aller Gebiete der das Primende
bestimmenden Gebietskette liegen muß. Es ist nun ohne weiteres
klar, daß keine Teilfolge von (P") gegen Eg konvergieren kann,
so daß eine ihrer Teilfolgen gegen ein von Eg verschiedenes Primende
konvergieren muß.
(2) Es sei Q5X > @2 > . . . > G5„ > . . . eine Kette von Teilge-
bieten des Gebietes 05, welche ein auf dem Rande von Qi enthaltenes
Ende 6g bestimmt. Pj, P'2, . . . P^, . . . = (P'J und P", P2, . . . P”,
. . . = (P") seien zwei gegen das Ende £g konvergierende Punkt-
folgen. Wir wollen uns überzeugen, daß eine Kurve C innerhalb 05
existiert, welche gegen das Ende 6g konvergiert und die beiden
Punktfolgen (P^) und (P") enthält.
Einfachheitshalber sei vorausgesetzt, daß die beiden Punkt-
folgen zueinander fremd und in 05 x enthalten sind.
Für jedes n =1, 2, . . . bestimmen wir den größten Wert
v = vn, für welchen das Gebiet 05 Vn der Kette noch das Punktetrippei
P^, P” und Pq + 1 enthält. Dann verbinden wir den Punkt P^ mit
dem Punkt P^ + x durch einen Weg cn, welcher den Punkt P" ent-
hält und ganz innerhalb Q5Vn verläuft und, von der Stelle P^ selbst
abgesehen, keinen der Wege cx, c2, ... cn_1 und auch keine von
P^, Pu + 1 und P" verschiedenen Punkte der beiden Folgen trifft.
Die Vereinigungsmenge
cx + c2 + . . . + cn + . . . = C
bildet offenbar eine Kurve, welche gegen £g konvergiert und die
beiden Punktfolgen (P'J und (P") enthält.
Ist nur eine gegen ein Ende konvergierende Punktfolge gegeben,
so läßt sich natürlich nach dem Obigen sofort eine Kurve angeben,
welche die betreffende Punktfolge enthält und gegen das Ende
konvergiert.
2. Der erste Invarianzsatz. Wir beweisen jetzt auf Grund der
Behauptungen (1) und (2) in Ziffer 1 den folgenden Satz:
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Invatwnz
der Primenden hei einer gegebenen topologischen Abbildung A des
beschränkten Gebietes Qi auf ein beschränktes Gebiet 05 und bei der
inversen Abbildung A~2 besteht darin, daß jede gegen ein Primende
des Gebietes 05 (bzw. 05) konvergierende Kurve durch die Abbildung A
(bzw. A~y) in eine gegen das Primende des Gebietes Q5 (bziv.
konvergierende Kurve übergeht (Invarianzsatz I).