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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0014
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Boris Kaufmann:
Eine ganz ähnliche Betrachtung gilt auch dann, falls wir, statt
vom Gebiet @ und der Abbildung Ab, von dem Bildbereich ® und
der inversen Abbildung Ab“1 ausgehen. Die inverse Betrachtung
führt aber sofort zum Schluß, daß zwei Punktfolgen des Gebietes ®,
welche gegen zwei verschiedene Primenden konvergieren, durch die
Abbildung Ab in zwei Punktfolgen übergehen, welche ebenfalls
gegen zwei verschiedene Primenden des Bildbereiches konvergieren.
Damit ist der Beweis des Invarianzsatzes II erbracht.
§ 3. Weitere Ergebnisse.
7. Hinweis auf einen weiteren Invarianzsatz. Das Ergebnis
des § 2 bildet nur eine Vorstufe zu weiteren, wesentlich tiefergehenden
Untersuchungen. In den Voraussetzungen, welchen die Abbildung
Ab (§ 2) genügt, ist nämlich noch das Primende selbst verwendet worden,
wenn es sich auch nur um einen Teil seiner Punkte, nämlich die
Gesamtheit der erreichbaren Stellen handelte. Es zeigt sich aber,
daß die Invarianz der Randelemente auch dann besteht, wenn man
von den erreichbaren Stellen allein ausgeht, ohne von den Primenden
selbst Gebrauch zu machen. Alan beherrscht gewissermaßen die Ab-
bildung der Begrenzungen offener Mengen auf Grund der Zuordnung
ihrer erreichbaren Punkte. Es gilt nämlich der folgende Satz:
Ist Ac eine topologische Abbildung eines beschränk-
ten räumlichen oder ebenen Gebietes ® auf ein eben-
falls beschränktes Gebiet ® und bleiben bei der Ab-
bildung Ac bzw. der inversen Abbildung Ap“1 die Ein-
schnitte der beiden Gebiete erhalten, so sind cliePrim-
enden der beiden Gebiete in bezug auf die Abbildungen
Ac und Ap-1 invariant.
In diesem Satz, dessen Beweis wir zum Gegenstand einer
besonderen Veröffentlichung machen werden, zeigen sich (obwohl
die betreffende Invarianzbedingung keine notwendige ist) die
starken Invarianzeigenschaften der Primenden besonders deutlich.
Ohne auf den Beweis selbst hier näher einzugehen, sei hier nur
erwähnt, daß dieser sich auf Grund tiefergehender Untersuchungen
des Verhaltens der Komplexe bei topologischen Abbildungen ergibt1).
P Bei diesen Untersuchungen zeigen sich besonders deutlich die inneren
gegenseitigen Verknüpfungen der vom Verfasser neu eingeführten Grundbegriffe,
■wie a- und ß-Folgen, konjugierte Mengen, und insbesondere auch der unbewallten
Grenzfolgen, welche ihm die Entwicklung der Komplextheorie ermöglicht haben.
Boris Kaufmann:
Eine ganz ähnliche Betrachtung gilt auch dann, falls wir, statt
vom Gebiet @ und der Abbildung Ab, von dem Bildbereich ® und
der inversen Abbildung Ab“1 ausgehen. Die inverse Betrachtung
führt aber sofort zum Schluß, daß zwei Punktfolgen des Gebietes ®,
welche gegen zwei verschiedene Primenden konvergieren, durch die
Abbildung Ab in zwei Punktfolgen übergehen, welche ebenfalls
gegen zwei verschiedene Primenden des Bildbereiches konvergieren.
Damit ist der Beweis des Invarianzsatzes II erbracht.
§ 3. Weitere Ergebnisse.
7. Hinweis auf einen weiteren Invarianzsatz. Das Ergebnis
des § 2 bildet nur eine Vorstufe zu weiteren, wesentlich tiefergehenden
Untersuchungen. In den Voraussetzungen, welchen die Abbildung
Ab (§ 2) genügt, ist nämlich noch das Primende selbst verwendet worden,
wenn es sich auch nur um einen Teil seiner Punkte, nämlich die
Gesamtheit der erreichbaren Stellen handelte. Es zeigt sich aber,
daß die Invarianz der Randelemente auch dann besteht, wenn man
von den erreichbaren Stellen allein ausgeht, ohne von den Primenden
selbst Gebrauch zu machen. Alan beherrscht gewissermaßen die Ab-
bildung der Begrenzungen offener Mengen auf Grund der Zuordnung
ihrer erreichbaren Punkte. Es gilt nämlich der folgende Satz:
Ist Ac eine topologische Abbildung eines beschränk-
ten räumlichen oder ebenen Gebietes ® auf ein eben-
falls beschränktes Gebiet ® und bleiben bei der Ab-
bildung Ac bzw. der inversen Abbildung Ap“1 die Ein-
schnitte der beiden Gebiete erhalten, so sind cliePrim-
enden der beiden Gebiete in bezug auf die Abbildungen
Ac und Ap-1 invariant.
In diesem Satz, dessen Beweis wir zum Gegenstand einer
besonderen Veröffentlichung machen werden, zeigen sich (obwohl
die betreffende Invarianzbedingung keine notwendige ist) die
starken Invarianzeigenschaften der Primenden besonders deutlich.
Ohne auf den Beweis selbst hier näher einzugehen, sei hier nur
erwähnt, daß dieser sich auf Grund tiefergehender Untersuchungen
des Verhaltens der Komplexe bei topologischen Abbildungen ergibt1).
P Bei diesen Untersuchungen zeigen sich besonders deutlich die inneren
gegenseitigen Verknüpfungen der vom Verfasser neu eingeführten Grundbegriffe,
■wie a- und ß-Folgen, konjugierte Mengen, und insbesondere auch der unbewallten
Grenzfolgen, welche ihm die Entwicklung der Komplextheorie ermöglicht haben.