Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Boris Kaufmann:

der Kette enthalten sind. Durch diese Definition wird das End-
gebilde am einfachsten festgelegt. Das Endgebilde, wie das Ende
auch, ist offenbar nur eine Art der Definition des Grenzgebildes
einer ineinandergeschachtelten Gebietskette und mit dem Grenz-
gebilde selbst jedenfalls identisch1).
Es ist nun sofort klar, daß ein jeder erreichbare Punkt eines
Gebietsrandes sich als ein Endgebilde (nicht immer aber als ein
Ende!) auffassen läßt.
Es sei £ ein beliebiger erreichbarer Punkt und ij>f die gegen
£ konvergierende unbewallte f-Gesamtheit vom a-Typus. Pst (K„)’
eine Folge konzentrischer, sich auf £ zusammenziehender Kugeln
(oder Kreise, im Falle der Ebene) mit dem Mittelpunkt £, so be-
stimmt eine jede Kugel K„ ein Teilgebiet in welchem ißf wesent-
lich enthalten ist. Die Gebietsfolge fp > f)2 > . . . > > . . . = (f)r).
bestimmt, wie leicht ersichtlich, ein mit £ identisches Endgebilde..
Jetzt bemerken wir, daß die Definition einer gegen ein Ende
konvergierenden Kurve sich sofort auf das Endgebilde übertragen
läßt. Besteht aber ein Endgebilde aus einem einzigen Punkt, so
ist jede gegen dasselbe konvergierende Kurve ein Einschnitt des
Gebietes. Die Invarianz der Einschnitte als Voraussetzung bei den
Abbildungen Ac und AjT1 bedeutet somit die Invarianz der gegen
die einpunktigen Endgebilde konvergierenden Kurven. Somit
sind für solche Endgebilde die Voraussetzungen der Abbildung
Aa im Invarianzsatz I erfüllt. Ähnlich wie dort für die Primenden
können wir hier die Invarianz der einpunktigen Endgebilde in bezug
auf die Abbildung Ac beweisen, was wir hier noch näher ausführen
wollen.
Es sei ißf eine unbewallte f-Gesamtheit vom a-Typus und
£ ihr Fläufungspunkt. tf sei ein Einschnitt des Gebietes, welcher
eine Punktfolge (Pn) e ißf enthält. Durch die Abbildung Ac geht
t| in einen Einschnitt des Gebietes ® über. Die Bildpunktfolge
(Pn) liegt ebenfalls auf einem Einschnitt und ist eine a-Punktfolge
einer unbewallten f-Gesamtheit pf. Wir wollen uns überzeugen,
daß die Gesamtheit Ac(Pf) aller Bildpunktfolgen von in pf-
enthalten sein muß. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so müßte
eine Punktfolge (Ön) e Ac ($f) existieren, deren keine Teilfolge
P Von Endgebilden wurde übrigens auch in der Primendentheorie vielfach
Gebrauch gemacht, ohne daß der Begriff selbst besonders eingeführt wurde. Man
vergleiche dazu auch die Definition des Endes (Pth. § 2).