Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das reguläre vierdimensionale Fünf zell.

15

mit den Kanten I, II, III, VII, IX, X. Es ist nur clie Höhe der-
selben geringer als in Wirklichkeit. Die Zeichnungen wurden mit
Hilfe von Fig. 4 durchgeführt, indem die einzelnen Eckpunkte bei
der Konstruktion der einzelnen Körper etwas verschoben wurde.
Es sind diese zehn Körper die zehn verschiedenen ebenen
Mittel schnitte zweiter Art durch das vierdimensionale Fünf zell.
Zusammen mit den fünf Mittelschnitten der Tetraeder gibt es
also 15 verschiedene Mittel schnitte. Kein Punkt im Innern eines
dieser Körper ist identisch mit einem anderen im Innern eines
anderen. Es ist dieses besonders leicht einzusehen, wenn die Punkte
A, B, C, D, E als chemische Elemente aufgefaßt werden, wodurch
die Punkte I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X zu Verbin-
dungen AB, AG, A D . . . T) E werden. Gemische von je vier
dieser Verbindungen sind alsdann durch die fünf Tetraeder (vgl.
Fig. 5) oder zehn Prismen (vgl. Fig. 6a, b, c) dargestellt. Kein
Gemisch, dargestellt durch einen Punkt im Innern eines der Körper,
kann aus einem Gemisch, das durch einen Punkt im Innern eines
anderen Körpers dargestellt wird, hergestellt werden, wie sich
unmittelbar bei Betrachtung irgendwelcher zweier Körper mit
teilweise gleichartigen Ecken ergibt. Dieses ist nach dem Vorher-
gehenden an sich eine selbstverständliche Folgerung. Es ist nur
deshalb noch einmal darauf hingewiesen, weil die Tetraeder und
Prismen der Fig. 5 und 6a, b, c, wenn sie nicht als Projektionen
von Schnittkörpern des vierdimensionalen Fünfzells auf das be-
grenzende Tetraeder aufgefaßt werden, den Eindruck erwecken,
als ob sie sich gegenseitig in verschiedener Art durchdringen würden.
Jeder dieser 15 Körper liegt im vierdimensionalen Raume in einer
anderen Schnittebene, gelegt durch bestimmte vier Halbierungs-
punkte von vier Kanten. Diese 15 Schnittkörper sind die möglichen
ebenen Mittel schnitte durch das vierdimensionale Fünf zell.
Gerade wie die ebenen Mittelschnitte durch ein Tetraeder
Gerade und Punkte enthalten, die natürlich auch dem Tetraeder
selbst zugehören, gehören auch die Ebenen, Geraden und Punkte,
die sich in den angegebenen körperlichen Mittel schnitten konstruieren
lassen, dem vierdimensionalen Fünfzell an. Ein beliebiger ebener
Schnitt durch einen der 15 Mittelkörper ergibt drei oder auch
vier Schnittpunkte; wählt man zu diesen noch einen beliebigen
Punkt, der aber nicht in dem gewählten Schnittkörper liegen darf,
so lassen sich durch die vier oder auch fünf Punkte alsdann im
vierdimensionalen Raum Hyperebenen legen, die das Fünfzell