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Ernst Jänecke:
schief in körperliche Gebilde durchschneiden. Die Schnittkörper, die
sich hierbei bilden, haben dann mit den Mittelschnittkörpern die ge-
wählte ebene Schnittfigur gemeinsam. Solche lassen sich unschwer
konstruieren, worauf aber nicht weiter eingegangen werden soll.
Die angegebenen 15 körperlichen Mittel schnitte umfassen
nicht etwa alle Punkte des vierdimensionalen Fünfzells. Durch
Parallelverschiebung ergeben sich aber ,,parallele“ Schnitte, die
alsdann alle möglichen Punkte enthalten, gerade wie im gewöhn -
liehen regulären Tetraeder eine parallele Verschiebung der Mittel-
schnitte zu Schnitten führt, die insgesamt alle Punkte des Tetra-
eders enthalten. Im Falle des Tetraeders führt die Parallelver-
schiebung der Mittelschnitte zu Schnittfiguren, die in den Fig. 3a.
und 3b angegeben sind. Ist der Mittelschnitt ein reguläres Drei-
eck, so sind es auch die parallelen Schnittfiguren, wobei sie nach
einer Seite hin wachsen bis zur Größe des begrenzenden regulären
Dreieckes und nach der anderen Seite abnehmen, bis sie in einem
Eckpunkt zusammenschrumpfen. Die Veränderung der quadra-
tischen Schnittfigur ist bei Verschiebung nach beiden Seiten hin
gleichartig. Das Quadrat streckt sich zu einem Rechteck, das
schließlich zu einer Kante zusammenschrumpft. Die Parallel-
verschiebung der Mittelschnittkörper des Fünfzells führt natur-
gemäß ebenso zu zwei verschiedenen Reihen paralleler Schnitt-
körper für die Schnittetraeder und -prismen. Um zu parallelen
Schnitten zu kommen, müssen die Eckpunkte auf den Kanten
gleichmäßig verschoben werden. Dieses führt auch zu entsprechen-
den Verschiebungen der in den Grenzkörpern (Fig. 3a, b, c, d, e)
dargestellten Grenzflächen der Schnittkörper.
Wird beispielsweise das Schnittetraeder mit den Ecken I, II.
III, IV parallel verschoben, so bewegen sich in dem Grenz-
tetraeder (Fig. 3a, b, c, d) die durch drei Punkte gehenden regu-
lären Dreiecke zum Punkte A oder von ihm weg. Es entstehen
kleinere reguläre Dreiecke, die schließlich zum Punkt A zusammen-
schrumpfen, oder größere, die bis zu den Grenzflächen B C D,
BC E, B D E und CD E anwachsen. Werden diese Flächen
körperlich zusammengesetzt, so ergeben sich die gesuchten parallelen
Schnitte durch das Fünfzell. Es sind das also reguläre Tetraeder,
die im Grenzfall ein Grenztetraeder des Fünfzells sind und wenn
sie immer kleiner werden, schließlich zu einem Punkt zusammen-
zuschrumpfen. In dem gewählten Beispiel sind die beiden Grenz-
fälle das Tetraeder B C D E und der Punkt A.
Ernst Jänecke:
schief in körperliche Gebilde durchschneiden. Die Schnittkörper, die
sich hierbei bilden, haben dann mit den Mittelschnittkörpern die ge-
wählte ebene Schnittfigur gemeinsam. Solche lassen sich unschwer
konstruieren, worauf aber nicht weiter eingegangen werden soll.
Die angegebenen 15 körperlichen Mittel schnitte umfassen
nicht etwa alle Punkte des vierdimensionalen Fünfzells. Durch
Parallelverschiebung ergeben sich aber ,,parallele“ Schnitte, die
alsdann alle möglichen Punkte enthalten, gerade wie im gewöhn -
liehen regulären Tetraeder eine parallele Verschiebung der Mittel-
schnitte zu Schnitten führt, die insgesamt alle Punkte des Tetra-
eders enthalten. Im Falle des Tetraeders führt die Parallelver-
schiebung der Mittelschnitte zu Schnittfiguren, die in den Fig. 3a.
und 3b angegeben sind. Ist der Mittelschnitt ein reguläres Drei-
eck, so sind es auch die parallelen Schnittfiguren, wobei sie nach
einer Seite hin wachsen bis zur Größe des begrenzenden regulären
Dreieckes und nach der anderen Seite abnehmen, bis sie in einem
Eckpunkt zusammenschrumpfen. Die Veränderung der quadra-
tischen Schnittfigur ist bei Verschiebung nach beiden Seiten hin
gleichartig. Das Quadrat streckt sich zu einem Rechteck, das
schließlich zu einer Kante zusammenschrumpft. Die Parallel-
verschiebung der Mittelschnittkörper des Fünfzells führt natur-
gemäß ebenso zu zwei verschiedenen Reihen paralleler Schnitt-
körper für die Schnittetraeder und -prismen. Um zu parallelen
Schnitten zu kommen, müssen die Eckpunkte auf den Kanten
gleichmäßig verschoben werden. Dieses führt auch zu entsprechen-
den Verschiebungen der in den Grenzkörpern (Fig. 3a, b, c, d, e)
dargestellten Grenzflächen der Schnittkörper.
Wird beispielsweise das Schnittetraeder mit den Ecken I, II.
III, IV parallel verschoben, so bewegen sich in dem Grenz-
tetraeder (Fig. 3a, b, c, d) die durch drei Punkte gehenden regu-
lären Dreiecke zum Punkte A oder von ihm weg. Es entstehen
kleinere reguläre Dreiecke, die schließlich zum Punkt A zusammen-
schrumpfen, oder größere, die bis zu den Grenzflächen B C D,
BC E, B D E und CD E anwachsen. Werden diese Flächen
körperlich zusammengesetzt, so ergeben sich die gesuchten parallelen
Schnitte durch das Fünfzell. Es sind das also reguläre Tetraeder,
die im Grenzfall ein Grenztetraeder des Fünfzells sind und wenn
sie immer kleiner werden, schließlich zu einem Punkt zusammen-
zuschrumpfen. In dem gewählten Beispiel sind die beiden Grenz-
fälle das Tetraeder B C D E und der Punkt A.