Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunkt Systeme
mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen.
Von Heinrich Kapferer in Freiburg i. Br.
§ 1. Um den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung näher zu
präzisieren, ist es vor allem nötig, zu erklären, was unter „Multiplizität^
verstanden werden soll. Jedoch wollen wir von Anfang an das Wort
Multiplizität durch das bequemere Wort „Rang“ ersetzen, was auch
sachlich begründet ist, insofern als die Multiplizitätszahlen, welche die
Resultantentheorie liefert, numerisch identisch sind mit gewissen Rang-
zahlen von Restklassenringen in der Theorie der Polynomideale.1)
Wenn ein Punkt P den Rang /a besitzt in bezug auf ein Polynom-
paar A (xy), B (xy\ so schreiben wir kurz:
R (A, B) = y.
Der Gebrauch dieser Bezeichnung setzt also implizite voraus, daß die
durch das Komma getrennten Polynome zueinander teilerfremd sind, weil
hier nur für solche Polynompaare der Rangbegriff definiert werden soll.
Wir berufen uns im folgenden auf die axiomatische Definition der Rang-
zahlen, die ich 1927 zum Beweis des Bezout sehen Satzes eingeführt
habe.2) Sie lautet — ausgesprochen für nicht homogene Polynome
(vgl. § 10 a. a. O.) — folgendermaßen:
Es ist auf eine und nur auf eine Art möglich, jedem Punkt
der x, y Ebene in bezug auf je 2 teilerfremde Polynome f und g in
x, y eine nicht negative ganze rationale Zahl zuzuordnen, bezeichnet
als „Rang“ des Punktes P in bezug auf /*, g, falls die Zuordnung
folgende Eigenschaften haben soll:
1. Wenn Punkt P nicht gemeinsamer Punkt von f=0, g=0 ist,
so soll P in bezug auf f, g den Rang Null haben.

x) Man vergleiche hierzu die nächste Abhandlung dieser „Beiträge zur
Algebra“, nämlich: H. Kapferer, „Eine idealtheoretische Lösung des Cramer sehen
Paradoxons, welche jeden singulären Fall umfaßt“.
2) H. Kapferer, „Axiomatische Begründung des Bezotjt sehen Satzes“; Sitzber.
der Heidelberger Akad. d. Wiss., 1927.

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