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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0004
4
Heinrich Kapferer:
2. Wenn P gemeinsamer Punkt von /'=0, g = 0, und wenn außer-
dem f und g beide linear in x, y und teilerfremd sind, so soll P
den Rang 1 haben in bezug auf f, g.
3. Je zwei Symbole B (f, g) und B (g, f), bezogen auf einen und
denselben Punkt, sollen numerisch den gleichen Wert haben.
4. Je zwei Symbole B (f, g) und B (f-t-g, g), bezogen auf einen
und denselben Punkt, sollen numerisch gleichwertig sein; dabei
bedeutet t ein beliebiges Polynom in x, y.
5. Zwischen je drei Symbolen B (f, P), B (cj, P) und B(f-g, P), alle drei
auf einen und denselben Punkt bezogen, besteht die Beziehung:
B (f, P) + B (g, ä) = B(f- g, P).
Wir stellen uns folgende zwei Probleme:
Problem I: Es wird gefragt nach einem Kriterium für die Existenz
und für die Anzahl der linear unabhängigen Polynome f (xy) mit
folgenden zwei Eigenschaften:
a) Die Ordnung von f (sc, y) soll eine vorgegebene Zahl AI nicht
übersteigen.
b) Die Polynome f (x, y) sollen sich zu einem fest gegebenen irre¬
duziblen Polynom g (x,y) von der Ordnung N mit einem ein-
fachen Punkt P so verhalten, daß der Rang des Punktes P in
bezug auf f, g einen vorgeschriebenen Mindestwert erreicht; dabei
soll g eine natürliche Zahl aus dem Intervall 0 N sein.
Problem II: Falls es Polynome der Artl gibt, so soll eine rationale
Methode angegeben werden, alle Polynome dieser Art zu konstruieren.
Es zeigt sich, daß die Anzahl der linear unabhängigen f (cc,y)
endlich ist, und daß durch sie alle Polynome der Art I gegeben sind.
Die Probleme I und II sind in den noch allgemeineren Problemen F
und II' enthalten, die in § 4 formuliert werden und deren Lösung aus
derjenigen von I und II sofort abgeleitet werden kann. Zwei ver-
schärfte Fragestellungen in anderer Hinsicht werden in § 5 erledigt.
Unsere Problemstellung ist so gefaßt, daß sie — wie weiter unten, § 5,
gezeigt wird — in gewissem Sinne das Maximum dessen verlangt,
was überhaupt auf konstruktiv ausführbarem Weg erreicht werden kann.
Die Literatur, die mit dem Gegenstand der vorliegenden Abhand-
lung in Zusammenhang steht, ist nahezu identisch mit derjenigen, welche
sich auf den Noether sehen Fundamentalsatz und auf das Cramer sehe
Paradoxon bezieht. Wir verweisen auf die diesbezüglichen Angaben
von Berzolari in der Enzyklop. der Math. Wiss. und in Pascals Reper-
torium der höh. Mathematik, 212 Aufl., II, 1, zumal unsere Methode
sich nicht an vorhandene Methoden anschließt, und die Fragestellung
Heinrich Kapferer:
2. Wenn P gemeinsamer Punkt von /'=0, g = 0, und wenn außer-
dem f und g beide linear in x, y und teilerfremd sind, so soll P
den Rang 1 haben in bezug auf f, g.
3. Je zwei Symbole B (f, g) und B (g, f), bezogen auf einen und
denselben Punkt, sollen numerisch den gleichen Wert haben.
4. Je zwei Symbole B (f, g) und B (f-t-g, g), bezogen auf einen
und denselben Punkt, sollen numerisch gleichwertig sein; dabei
bedeutet t ein beliebiges Polynom in x, y.
5. Zwischen je drei Symbolen B (f, P), B (cj, P) und B(f-g, P), alle drei
auf einen und denselben Punkt bezogen, besteht die Beziehung:
B (f, P) + B (g, ä) = B(f- g, P).
Wir stellen uns folgende zwei Probleme:
Problem I: Es wird gefragt nach einem Kriterium für die Existenz
und für die Anzahl der linear unabhängigen Polynome f (xy) mit
folgenden zwei Eigenschaften:
a) Die Ordnung von f (sc, y) soll eine vorgegebene Zahl AI nicht
übersteigen.
b) Die Polynome f (x, y) sollen sich zu einem fest gegebenen irre¬
duziblen Polynom g (x,y) von der Ordnung N mit einem ein-
fachen Punkt P so verhalten, daß der Rang des Punktes P in
bezug auf f, g einen vorgeschriebenen Mindestwert erreicht; dabei
soll g eine natürliche Zahl aus dem Intervall 0 N sein.
Problem II: Falls es Polynome der Artl gibt, so soll eine rationale
Methode angegeben werden, alle Polynome dieser Art zu konstruieren.
Es zeigt sich, daß die Anzahl der linear unabhängigen f (cc,y)
endlich ist, und daß durch sie alle Polynome der Art I gegeben sind.
Die Probleme I und II sind in den noch allgemeineren Problemen F
und II' enthalten, die in § 4 formuliert werden und deren Lösung aus
derjenigen von I und II sofort abgeleitet werden kann. Zwei ver-
schärfte Fragestellungen in anderer Hinsicht werden in § 5 erledigt.
Unsere Problemstellung ist so gefaßt, daß sie — wie weiter unten, § 5,
gezeigt wird — in gewissem Sinne das Maximum dessen verlangt,
was überhaupt auf konstruktiv ausführbarem Weg erreicht werden kann.
Die Literatur, die mit dem Gegenstand der vorliegenden Abhand-
lung in Zusammenhang steht, ist nahezu identisch mit derjenigen, welche
sich auf den Noether sehen Fundamentalsatz und auf das Cramer sehe
Paradoxon bezieht. Wir verweisen auf die diesbezüglichen Angaben
von Berzolari in der Enzyklop. der Math. Wiss. und in Pascals Reper-
torium der höh. Mathematik, 212 Aufl., II, 1, zumal unsere Methode
sich nicht an vorhandene Methoden anschließt, und die Fragestellung