Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen 5

des Cramer sehen Paradoxons in Verbindung mit dem Noether sehen
Fundamentalsatz der Gegenstand der nächstfolgenden (schon oben
zitierten) Abhandlung sein wird.
Einige ganz spezielle Aufgaben, die unter unsere Problemstellung
fallen, finden sich bei Salmon, Höhere ebene Kurven, 1873, behandelt;
z. B.: Es soll die Gleichung der Kegelschnitte bestimmt werden, welche
durch 6 aufeinanderfolgende Punkte einer Kurve 3ter Ordnung gehen;
es soll die Gleichung eines eine gegebene Kurve mter Ordnung minde-
stens öpunktig berührenden Kegelschnitts bestimmt werden.

§ 2. Über ein Differentiationsverfahren.
(x, y, A) und GN (x, y, JET) seien zwei „vollständige“ Polynome
Jfter bzw. Ntor Ordnung in x,y mit Unbestimmten A,B als Koeffizienten;
d. h. es ist nichts vorgegeben als die Ordnungszahlen FL und N, und es ist

Fm(x, y, A) = 2 Ar, s ■ xr • ys mit r + s FL
Gtn(x, y, B) — 2Br,s xr ys mit r + s <( N

Durch sukzessives Differentieren nach x bzw. y bilde man M-N
weitere Polynome in x, y, bezeichnet durch Z(1), Z(2)..., FfM-W), und all-
gemein definiert durch
Jo = Fm (x y, A) und J(v +=
für r = 0,1,..., AZ • 2V — 1.

9x , 9y

Durch die Spezialisierung der Koeffizienten A zu A' und der B
zu B' möge Fm (x y,A) in fm (xy) und GrN (x,y,B) in gn(xy) über-
gehen, wo m und n die neuen Ordnungszahlen sind, so daß also stets
m FL, n N ist; gleichzeitig geht I(v} (x, y, A, B~) über in IM
(x, y, A', B').

(1)

P sei irgendein einfacher Punkt der irreduziblen Grund-
kurve g = Q, definiert durch x — a, y = ß, so daß also zwar
9 (°b ß) = 0 ist, aber wenigstens eine der Kongruenzen
9 (x, /?) = 0 ((# — a)2) und g (a, «/) = 0 ((?/ — ß)2)
nicht erfüllt ist.

Unter den Voraussetzungen (1) gelten folgende 2 Sätze:

Es gibt stets eine natürliche Zahl y von der Art, daß

(2 a)
ist.

0 < y m ■ n
Jo (a,ß, A',B,y) = 0;..J^ (a, ß, A' ,B') = 0, aber
(a, ß, A', B ) # 0