Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen 7

2. Fall: Sei A(a,/3)=0; dann folgt aus (4a) und aus der all-
gemein gütigen Kongruenz:
h (x, y) • g0 (?/) - g (oc, y) • 7a0 (t/) = 0 ((z - et)),

wo bedeutet h0 (y) -
gruenz gilt:

h (« y}
y-ß

und p0 (y) =

9 y)
y-ß ’

x +1 z X + 1
f-g0 = 0 ((#—a) ,9)

daß

auch die Kon-

Damit ist der Satz (4) bewiesen; dann folgt aber fofort, nämlich
aus der Überlegung zum 1. Fall:
Die Zahl y des Satzes (4) ist identisch mit dem Rang des
Punktes P in bezug auf f, g.


Mit Hilfe der Sätze (4) und (5) wollen wir nun das Kriterium (3)
verifizieren. Wir behaupten zunächst:

(6)

Für jeden gemeinsamen Punkt P von f— 0, g = 0 gilt — unter
den Voraussetzungen (1) — der Satz:
Wenn der Rang von P in bezug auf f, g gleich /zi> 1 ist,
so ist der Rang von Pin bezug auf J,g gleich a— 1; dabei bedeutet
fx9y f y ' 9x '

Denn die Voraussetzung, daß P den Rang /z besitzt in bezug auf
/, g, ist nach (5) gleichbedeutend mit einer Identität
) f'9o = (x—aß-h + t-g
mit h (a, ß) 4 0. Hieraus folgt durch Differentieren nach x bzw. y

/ o\ Al A6 —1 A6
fx • g0= t-gx -\-h-^-(x—et) mod (Gr-ct) , #)
/Z g-IJq jtz
fy ' 9o + Z* • 9o • • f= t • gy mod (Gr —a) , (?)
Multipliziert man (7), (8), (9) der Reihe nach mit
~ ' dy ’ + 9®' 9X ’
und addiert, so ergibt sich
y + 1 /z—1 g
(fx-gy-fygaß'gQ = ft-(x-a) • A • mod ((«—«), gr)
Da nun h (a, ß) -rg0 (/?) • gy (a, ß) 4 0 ist infolge der Voraussetzungen1), so,
folgt weiter:

J) Die Voraussetzung g (a, y) 4 0 ((i/~ V)) ist nämlich gleichbedeutend mit

3VV0nn Punkten
oy
= a, y = ß.