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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0014
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Heinrich Kapferer :
gibt also wenigstens
eine Lösung dann und nur dann, wenn
Pz > 0, d. h. wenn
ist.
Die nun erledigten Probleme I und II sind Spezialfälle der fol-
genden :
Problem (T). Es wird gefragt nach einem Kriterium für die
Existenz und die Anzahl der linear unabhängigen Polynome f (x,y) mit
folgenden Eigenschaften:
a) Die Ordnung von f soll die gegebene Zahl M nicht übersteigen.
b) Die Polynome f (#, y) sollen sich zu einem fest gegebenen irredu¬
ziblen Grundpolynom g (x,y) von der Ordnung AI mit den einfachen
Punkten P,, P2, . . Ps so verhalten, daß die Rangzahlen der Punkte
Px, . . . Ps in bezug auf f, g vorgeschriebene Mindestwerte
/j,x, . . ., zzs erreichen; dabei sollen allgemein entnommen sein
aus dem Intervall „ ht
0 <( A4 • IV.
Problem (IT). Falls es Polynome der Art (I') gibt, so soll eine
praktisch ausführbare Methode angegeben werden, alle Polynome
dieser Art zu konstruieren.
Die Methode, die zur Lösung der Probleme I und II geführt hat,
läßt sich ohne weiteres übertragen auf die allgemeinen Probleme I'
und II'. Man hat zu diesem Zwecke die Gleichungen (11) für jeden
einzelnen der Punkte Pv P2, . . ., Ps aufzustellen, und die Koeffizienten
Ar zu bestimmen, welche simultan den +/z2 + . . +/zs linearen
Gleichungen genügen. Die Übertragung der Sätze (23 a) und (23 b)
lautet daher:
(24 a)
Bei M~P^N hat das Problem I' und II' stets dann und
nur dann wenigstens eine Lösung, wenn der Rang r' der
s
2 Gleichungen, welche allgemein durch (11) definiert sind,
i=r
die Bedingung erfüllt
r'<M-
Falls diese Bedingung erfüllt ist, so bildet die Gesamtheit der
Lösungspolynome einen Modul vom Rang
Pir =M-N-^-r'+l.
Heinrich Kapferer :
gibt also wenigstens
eine Lösung dann und nur dann, wenn
Pz > 0, d. h. wenn
ist.
Die nun erledigten Probleme I und II sind Spezialfälle der fol-
genden :
Problem (T). Es wird gefragt nach einem Kriterium für die
Existenz und die Anzahl der linear unabhängigen Polynome f (x,y) mit
folgenden Eigenschaften:
a) Die Ordnung von f soll die gegebene Zahl M nicht übersteigen.
b) Die Polynome f (#, y) sollen sich zu einem fest gegebenen irredu¬
ziblen Grundpolynom g (x,y) von der Ordnung AI mit den einfachen
Punkten P,, P2, . . Ps so verhalten, daß die Rangzahlen der Punkte
Px, . . . Ps in bezug auf f, g vorgeschriebene Mindestwerte
/j,x, . . ., zzs erreichen; dabei sollen allgemein entnommen sein
aus dem Intervall „ ht
0 <( A4 • IV.
Problem (IT). Falls es Polynome der Art (I') gibt, so soll eine
praktisch ausführbare Methode angegeben werden, alle Polynome
dieser Art zu konstruieren.
Die Methode, die zur Lösung der Probleme I und II geführt hat,
läßt sich ohne weiteres übertragen auf die allgemeinen Probleme I'
und II'. Man hat zu diesem Zwecke die Gleichungen (11) für jeden
einzelnen der Punkte Pv P2, . . ., Ps aufzustellen, und die Koeffizienten
Ar zu bestimmen, welche simultan den +/z2 + . . +/zs linearen
Gleichungen genügen. Die Übertragung der Sätze (23 a) und (23 b)
lautet daher:
(24 a)
Bei M~P^N hat das Problem I' und II' stets dann und
nur dann wenigstens eine Lösung, wenn der Rang r' der
s
2 Gleichungen, welche allgemein durch (11) definiert sind,
i=r
die Bedingung erfüllt
r'<M-
Falls diese Bedingung erfüllt ist, so bildet die Gesamtheit der
Lösungspolynome einen Modul vom Rang
Pir =M-N-^-r'+l.