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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0016
16
Heinrich Kapferer:
der linear unabhängigen Polynome, deren Ordnung M' — 1 nicht über-
steigt, und ebenso die Anzahl der linear unabhängigen Polynome,
deren Ordnung _ZIU nicht übersteigt, bekannt sind, so ist2I1-2l0 die
Anzahl der Polynome der Art I, welche genau die Ordnung PL'
besitzen.
Problem IV. Die Lösung der Probleme I und II gestattet ferner,
noch eine nach anderer Lichtung verschärfte Frage zu beantworten,
nämlich die, ob und wieviele unter den Polynomen der Art I sich so
verhalten, daß der Pang des Punktes P in bezug auf f, g nicht
nur den vorgeschriebenen Mindestwert erreicht, sondern genau
gleich p, ist.
Denn wenn die Anzahl der Polynome der Art I allgemein mit 21«
bezeichnet, so 2l«~2l« + 1 die gesuchte Anzahl. Als Kriterium dafür,
ob ein vorgelegtes Polynom der Art I zu den Polynomen der Art IV
gehört, dient der Satz (2) in § 2, d. h. eine gewisse Ungleichung. —
Es ist hierbei bemerkenswert, daß es sehr wohl vorkommen kann, daß
21« — = 0 ist, d. h., daß es keine Polynome der Art IV gibt,
obwohl es solche der Art I gibt.
Hierfür ein Beispiel: Sei g (xy) = x1 — y3. Es wird gefragt
nach allen Polynomen 1. Ordnung f(x,y) von der Art, daß der Punkt
x — 0, 2/ = 0 genau den Rang 2 besitzt in bezug auf f, g- die Ant-
wort lautet: Es gibt keine solche Polynome. Wenn nämlich/irgend-
ein Polynom 1. Ordnung, so ist der Rang des Punktes x — 0, y = 0 in
bezug auf /, g entweder 0 oder 1 oder 3, aber niemals 2. Das an-
geführte Beispiel ist ein spezieller Fall des folgenden: Grundpolynom
p —,-r1 — ym^ 1; gefragt ist nach den Polynomen f(x,y), deren Grad
m —- 1 nicht übersteigt, und die sich so verhalten, daß der Punkt
x — 0, y = 0 in bezug auf f,g genau den Rang m besitzt; Antwort:
Es gibt keine solche Polynome. Sobald nämlich B (f, g~)L> m ist,
so ist schon B(f,g} mindestens gleich m + 1; das läßt sich z. B. mit
Hilfe der charakteristischen Eigenschaften der Rangzahlen nachweisen.
Problem V. Wir wollen noch den tieferen Grund angeben, wes-
halb in allen bisherigen Problemstellungen ausdrücklich der Punkt P
als einfacher Punkt der Grundkurve g vorausgesetzt worden war. Die
Antwort ist am leichtesten durch ein Beispiel zu geben:
Das Grundpolynom sei p = .«2 — yp der Punkt P sei der Punkt
x — 0, y = 0, also ein Doppelpunkt von g = 0. Es wird gefragt nach
den Polynomen f(xy), deren Ordnung nicht größer als 2 ist, und die
sich zum Grundpolynom g so verhalten, daß der Punkt P in bezug
auf /, g mindestens den Rang 3 besitzt.
Heinrich Kapferer:
der linear unabhängigen Polynome, deren Ordnung M' — 1 nicht über-
steigt, und ebenso die Anzahl der linear unabhängigen Polynome,
deren Ordnung _ZIU nicht übersteigt, bekannt sind, so ist2I1-2l0 die
Anzahl der Polynome der Art I, welche genau die Ordnung PL'
besitzen.
Problem IV. Die Lösung der Probleme I und II gestattet ferner,
noch eine nach anderer Lichtung verschärfte Frage zu beantworten,
nämlich die, ob und wieviele unter den Polynomen der Art I sich so
verhalten, daß der Pang des Punktes P in bezug auf f, g nicht
nur den vorgeschriebenen Mindestwert erreicht, sondern genau
gleich p, ist.
Denn wenn die Anzahl der Polynome der Art I allgemein mit 21«
bezeichnet, so 2l«~2l« + 1 die gesuchte Anzahl. Als Kriterium dafür,
ob ein vorgelegtes Polynom der Art I zu den Polynomen der Art IV
gehört, dient der Satz (2) in § 2, d. h. eine gewisse Ungleichung. —
Es ist hierbei bemerkenswert, daß es sehr wohl vorkommen kann, daß
21« — = 0 ist, d. h., daß es keine Polynome der Art IV gibt,
obwohl es solche der Art I gibt.
Hierfür ein Beispiel: Sei g (xy) = x1 — y3. Es wird gefragt
nach allen Polynomen 1. Ordnung f(x,y) von der Art, daß der Punkt
x — 0, 2/ = 0 genau den Rang 2 besitzt in bezug auf f, g- die Ant-
wort lautet: Es gibt keine solche Polynome. Wenn nämlich/irgend-
ein Polynom 1. Ordnung, so ist der Rang des Punktes x — 0, y = 0 in
bezug auf /, g entweder 0 oder 1 oder 3, aber niemals 2. Das an-
geführte Beispiel ist ein spezieller Fall des folgenden: Grundpolynom
p —,-r1 — ym^ 1; gefragt ist nach den Polynomen f(x,y), deren Grad
m —- 1 nicht übersteigt, und die sich so verhalten, daß der Punkt
x — 0, y = 0 in bezug auf f,g genau den Rang m besitzt; Antwort:
Es gibt keine solche Polynome. Sobald nämlich B (f, g~)L> m ist,
so ist schon B(f,g} mindestens gleich m + 1; das läßt sich z. B. mit
Hilfe der charakteristischen Eigenschaften der Rangzahlen nachweisen.
Problem V. Wir wollen noch den tieferen Grund angeben, wes-
halb in allen bisherigen Problemstellungen ausdrücklich der Punkt P
als einfacher Punkt der Grundkurve g vorausgesetzt worden war. Die
Antwort ist am leichtesten durch ein Beispiel zu geben:
Das Grundpolynom sei p = .«2 — yp der Punkt P sei der Punkt
x — 0, y = 0, also ein Doppelpunkt von g = 0. Es wird gefragt nach
den Polynomen f(xy), deren Ordnung nicht größer als 2 ist, und die
sich zum Grundpolynom g so verhalten, daß der Punkt P in bezug
auf /, g mindestens den Rang 3 besitzt.