Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen. 17
Die fraglichen Polynome gehen jedenfalls alle hervor durch Spe-
zialisierung der 6 Koeffizienten des allgemeinen Polynoms 2. Ordnung:
f2 (x, y, a) = An x2+A2 y2 + As + A2 %y + As yz + Aizx-
Die Antwort auf obige Frage lautet dann so: Diejenigen und nur
diejenigen speziellen Polynome F2 (x, y, A')> die teilerfremd zu g = x* — y2
sind, und deren Koeffizienten den beiden Gleichungen genügen
A'33 — 0 und A'13 — A'23 = 0,
erfüllen die verlangten Bedingungen. Die Koeffizienten haben also
nicht nur lineare, sondern auch eine nicht lineare Bedingung zu er-
füllen, die nicht etwa durch lineare ersetzt werden kann. Es läßt sich
zeigen, und zwar mit Hilfe des Kriteriums (2) in § 2 — weil nämlich
die Polynome
y> A JA)
in den B nicht mehr linear sind —, daß diese Erscheinung allgemein
eintreten wird, wenn es sich um vielfache Punkte der Grundkurve
handelt.
Hätten wir also in unseren Problemstellungen I, II, III, IV auch
vielfache Punkte der Grundkurve in Betracht gezogen — das bloße
Vorhandensein vielfacher Punkte in der Grundkurve stört unsere
Methode nicht —, so würde man neben linearen Gleichungen auch
nicht lineare Gleichungen aufzulösen haben, d. h. eine Aufgabe, die
im allgemeinen nicht mehr auf rationalem Wege, d. h. auch nicht mehr
explizite ausgeführt werden kann.1)

b In den „Vorlesungen über algebraische Geometrie“ von F. Severi, über-
setzt von Löffler, 1927, scheint mir auf Seite 12 ein diesbezüglicher Irrtum vor-
zuliegen. „Wenn eine Kurve f(scy) = 0 mit einer festen Kurve P=Q in einem
Punkte P eine Berührung von dei' Ordnung t — 1 haben soll, so hat man die
Koeffizienten von / gewissen Bedingungen unterworfen. Alle diese Be-
ziehungen sind linear in den Koeffizienten von f.“ Es fehlt offen-
bar der Zusatz, daß der Punkt P einfacher Punkt von P sein muß, wie unser
oben angeführtes Beispiel zeigt.

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