Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22

H. Kapferer:

Jt2, . . R/{ ein volles Repräsentantensystem der linear unabhängigen
Restklassen mod q, sodaß also eine Kongruenz der Art
(1) + d2 R2 . + du Rß = 0 (mod q)
dann und nur dann besteht, wenn sämtliche konstanten di verschwin-
den, während jedes Polynom F(x.)y') einer Kongruenz
F=cr F^c2 R2F..+cß Rß (mod q)
genügt mit konstanten cq . Die sind eindeutig, sobald F (x,y^ fest
gegeben ist; denn andernfalls würde eine Kongruenz der Art (1) folgen,
was der linearen Unabhängigkeit der R< widerspräche. Insbesondere
gilt nun auch für jedes einzelne Potenzprodukt xa yß mit a + ß < v
eine Kongruenz der Art:
(2) xa yß = ca, Rx + ca, ß2R2F- • + ca, ß, ß ddß (mod q).
Wenn man also ein „allgemeines Polynom Cv (x, y) mit unbestimmten
Koeffizienten ansetzt durch:
Cv (x,y) = Fa,ß xayß mit a F ß <^v
a,ß
so wird wegen (2)
Cv (x, 2/) = 2 ß (ca, ß,r A + • • -+ca,ß, v (mod
a, ß
und, wenn man noch ordnet nach den R, erhält man
Cv y') — dd1 ■ Ri + D2- R2F • • + Dß ■ Rß (mod q).
Dabei sind Z)x, jD2, . . Dß lineare und homogene Gebilde in den Aa ß.
Aus der linearen Unabhängigkeit der R unter sich folgt daher:
Das System der y homogenen linearen Gleichungen
D1 = 0; Z>2 = 0; ... = 0
ist äquivalent der einen Kongruenz CV~Q (mod q).
Analog sind der Kongruenz Cv=0 (q.z) genau lineare Gleichungen
der Art (3) äquivalent. Wir haben also das Ergebnis:
Die Forderung, welche in der Kongruenz
Cv (x, y) = 0 (f (x, y), g (x, y})
liegt, ist äquivalent S linearen homogenen Bedingungsglei-
chungen für die Koeffizienten von (x, y); dabei ist
S = /zx +/z2+ . . .+ys',
s bedeutet die Anzahl der verschiedenen gemeinsamen Null-
stellen x = ai} y = ßi von / und g, mit den Rangzahlen
. /z2, . . ys in bezug auf f, g.
*) Ein volles Repräsentantensystem der linear unabhängigen Restklassen