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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0023
Eine idealtheoretische Lösung des ÜRAMEESchen Paradoxons usw. 23
Nun gehen wir von den Polynomen fm, gn Cv in x,y durch Homo-
genisierung über zu den zugehörigen ternären Formen fm (x,y,z),
(Jn falb12)- Dadurch erhalten wir aus der nicht homo¬
genen Kongruenz C = 0 (f, g) zunächst nur
(5) C.v (x-, 1F) ■ ^ = 0 (f(x, y, z), g (x, y, z)).
Den Faktor zl kann man noch beseitigen 1) vermöge einer Voraussetzung,
die wir nicht gemacht haben, die sich aber stets erfüllen läßt durch
eine vorhergehende lineare Transformation des Polynompaares f, g,
nämlich die Voraussetzung, daß, wenn x = ay, y = ßx,z = y)i die sämt-
lichen gemeinsamen Nullstellen von f, g bedeuten, alle # 0 sind.
Wir gelangen so, von (5) ausgehend zur Kongruenz
(6) Cv (x,y,z) = 0 (f (x, y, z), g (x, y, z)).
Für ternäre Polynome f, g gilt aber der BEZOüTsche Satz in der strengen
Form, wonach die Summe der Multiplizitäten der gemeinsamen Null-
stellen von f,g gleich ist dem Produkt der Ordnungszahlen, also m-n.
Andererseits sind die Multiplizitätszahlen des BEZOUTSchen Satzes
numerisch gleich2) unseren bis jetzt nur als Rangzahlen von Rest-
klassenringen nach Primäridealen definierten Zahlen Daher ver-
einfacht sich der für nicht homogene Polynome ausgesprochene Satz
(4) zu dem folgenden für homogene Polynome: Die Forderung, welche
in der homogenen Kongruenz
(7)
Cv (x, y,z) = Q (fm (x, y, z), gn (x, y, z))
liegt, ist stets äquivalent m • n linearen homogenen Bedingungs-
gleichungen für Cv (x, y, z}.
Zusatz: Über das Größenverhältnis von v zu w, n wurde bisher
nichts gesagt; es folgt aber nachträglich aus (7), daß u N Max (m, n)
sein muß, falls Cv (x, ?/, ü teilerfremd zu f und g ist und nicht iden-
tisch verschwindet.
§3. Der Rang des Formenmoduls3) hv—m-fm + b'U—n’gn-
Zunächst ist es nötig, den Begriff eines Moduls von Polynomen
in x,y und einen diesen betreffenden Satz, den ich in der vorher-
nach einem Primärideal kann man in jedem Fall auf rationalem Wege kon-
struieren, wie E. Noether im Anschluß an mein Divisionsverfahren zur numerischen
Bestimmung der Rangzablen gezeigt hat (Math. Annalen 97, S. 564).
x) Vgl. Kapferer, a. a. 0. S. 74.
2) Zuerst von Max Noether ausgesprochen, für den allgemeinen Fall be-
wiesen von Macaulay a. a. 0.
3) Vgl. die Fußnote in §4.
Nun gehen wir von den Polynomen fm, gn Cv in x,y durch Homo-
genisierung über zu den zugehörigen ternären Formen fm (x,y,z),
(Jn falb12)- Dadurch erhalten wir aus der nicht homo¬
genen Kongruenz C = 0 (f, g) zunächst nur
(5) C.v (x-, 1F) ■ ^ = 0 (f(x, y, z), g (x, y, z)).
Den Faktor zl kann man noch beseitigen 1) vermöge einer Voraussetzung,
die wir nicht gemacht haben, die sich aber stets erfüllen läßt durch
eine vorhergehende lineare Transformation des Polynompaares f, g,
nämlich die Voraussetzung, daß, wenn x = ay, y = ßx,z = y)i die sämt-
lichen gemeinsamen Nullstellen von f, g bedeuten, alle # 0 sind.
Wir gelangen so, von (5) ausgehend zur Kongruenz
(6) Cv (x,y,z) = 0 (f (x, y, z), g (x, y, z)).
Für ternäre Polynome f, g gilt aber der BEZOüTsche Satz in der strengen
Form, wonach die Summe der Multiplizitäten der gemeinsamen Null-
stellen von f,g gleich ist dem Produkt der Ordnungszahlen, also m-n.
Andererseits sind die Multiplizitätszahlen des BEZOUTSchen Satzes
numerisch gleich2) unseren bis jetzt nur als Rangzahlen von Rest-
klassenringen nach Primäridealen definierten Zahlen Daher ver-
einfacht sich der für nicht homogene Polynome ausgesprochene Satz
(4) zu dem folgenden für homogene Polynome: Die Forderung, welche
in der homogenen Kongruenz
(7)
Cv (x, y,z) = Q (fm (x, y, z), gn (x, y, z))
liegt, ist stets äquivalent m • n linearen homogenen Bedingungs-
gleichungen für Cv (x, y, z}.
Zusatz: Über das Größenverhältnis von v zu w, n wurde bisher
nichts gesagt; es folgt aber nachträglich aus (7), daß u N Max (m, n)
sein muß, falls Cv (x, ?/, ü teilerfremd zu f und g ist und nicht iden-
tisch verschwindet.
§3. Der Rang des Formenmoduls3) hv—m-fm + b'U—n’gn-
Zunächst ist es nötig, den Begriff eines Moduls von Polynomen
in x,y und einen diesen betreffenden Satz, den ich in der vorher-
nach einem Primärideal kann man in jedem Fall auf rationalem Wege kon-
struieren, wie E. Noether im Anschluß an mein Divisionsverfahren zur numerischen
Bestimmung der Rangzablen gezeigt hat (Math. Annalen 97, S. 564).
x) Vgl. Kapferer, a. a. 0. S. 74.
2) Zuerst von Max Noether ausgesprochen, für den allgemeinen Fall be-
wiesen von Macaulay a. a. 0.
3) Vgl. die Fußnote in §4.