Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine idealtheoretische Lösung des CRAMERSchen Paradoxons usw. 27
Es ist r — m - n falls v > m -\-n — 3.
Es ist dagegen
(m 4- n — v — 1) (m + w — v — 2) „
r=m-n- ------’ falls v^m+n—3.
Damit ist der Haupsatz, nämlich § 1, (2) bewiesen.1)
§ 5. Über die explizite Aufstellung der linearen Gleichungen des
Hauptsatzes § 1, (2).
Nachdem das eigentliche Ziel der Abhandlung, der Hauptsatz § 1 (2)
erreicht ist, ist es noch von einigem praktischen Interesse zu wissen,
ob man auch explizite jene linearen Gleichungen, § 2, (3), auf denen
der Hauptsatz beruht, aufstellen kann. Für den allgemeinsten Fall
werden wir diese Frage nicht beantworten, aber in einem immerhin
noch allgemeinen und interessanten Fall werden wir die w • n Gleichungen
explizite aufstellen, und zwar einerseits unter Berufung auf das Ergebnis
des §2 der vorhergehenden Abhandlung (zitiert in § 1, Fußnote),
andererseits unter Berufung auf einen Satz, den ich 1927 aufgestellt
habe (in der in § 2, Fußnote, zitierten Abh., Sätze (38) und (39):
Zwei teilerfremde Polynome f und g in x, y seien fest gegeben.
Jede gemeinsame Nullstelle von f und g sei entweder in f oder
in g oder in beiden einfache Nullstelle; dann gilt der Satz:
Die Bedingung, welche einer Cv (x,y) auferlegt wird durch
die Forderung Cw(^,?/)=0 (f(x,y), g (x,y)') ist äquivalent
so vielen Rangbedingungen — „Rang“ in der Bedeutung von
(11) Schnittpunktmultiplizität — in bezug auf/) g, als es verschiedene
gemeinsame Nullstellen von f und g gibt, und zwar: Wenn
P irgendeine der gemeinsamen Nullstellen ist, die etwa in g
einfach ist, so muß — Cv (x, y) zu g (x, y) teilerfremd voraus-
gesetzt — der Rang des Punktes P in bezug auf Cv(x, y),
g (x, y) mindestens so groß sein als der Rang desselben
Punktes in bezug auf f\x,y'), g(x,y).
x) Das Ergebnis r — m • n ist identisch mit dem Werte, den die HiLBERTsche
/-Funktion annimmt, falls v genügend groß wird. D. Hilbert „Über die
Theorie der algebraischen Formen. Mathern. Annalen (36), 1890.
Es wäre jedoch unzweckmäßig, an dieser Stelle die HiLBERTsche /-Funktion
heranzuziehen; denn für das ÜRAMERsche Paradoxon ist ja gerade der andere
Fall, in welchem die /-Funktion nicht mehr giltig ist, von Interesse, nämlich
der Fall r m • n.
Das Analoge gilt von dem Rang unseres in § 3 definierten Formenmoduls.
Auch hier könnte man die HiLBERTSchen Überlegungen heranziehen, aber nur, falls
v genügend groß ist, d. h. für den Fall 10b.