DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0028
28
H. Kapferer :
Es wurde aber in der vorhergehenden Abhandlung gezeigt, daß
jede derartige Rangbedingung, wie sie in (11) auftritt — die Rangzahl
selbst mit /z bezeichnet —, jeweils äquivalent ist einem System von /z
homogenen linearen Gleichungen für die Koeffizienten von Cv (x,y\
die man explizite aufstellen kann, und zwar auf Grund jenes
Differentiationsverfahrens (a. a. O. § 2). Bei letzterem mußte allerdings
die Grundkurve irreduzibel sein. Diese Beschränkung wird nachher
wegfallen; sie war nur methodisch einigermaßen begründet, nicht tat-
sächlich. Ferner wurde gezeigt (a. a. O. § 4, (22)), daß jene /z Gleichungen
auch dann noch — und zwar dann in trivialer Weise — erfüllt werden,
wenn Cv (x, y) = 0 (g (x, y)ß Somit haben wir das Ergebnis:
Die m • n linearen Bedingungsgleichungen des Hauptsatzes
§ 1, (2) lassen sich auch explizite aufstellen, falls jede gemein-
same Nullstelle von f und g entweder in f oder in g oder in
beiden einfache Nullstelle ist.
Der Satz (11) wurde von mir a. a. O. als spezieller Fall aus
einem rationalen Kriterium für den allgemeinsten Fall desNoETHERSchen
Fundamentalsatzes abgeleitet. Ich hatte damals schon behauptet (a.a. O.
Seite 79, Fußnote), daß ersieh auch direkt beweisen läßt. Dies
soll jetzt hier geschehen, aber nicht nach meiner Methode, sondern
nach einem Gedankengang, den ich nachträglichen brieflichen Mitteilungen
von E. Noether in Göttingen verdanke.
Wie schon in § 2 bemerkt, ist die Kongruenz C (x,y) = 0 (/”, g)
äquivalent den s Kongruenzen C = 0 (qj, wo q^ für i = 1, 2, . . s die
s den verschiedenen s Schnittpunkten x = c^, y — ßi zugehörigen Primär-
ideale von (/) g) sind. Man kann sich also beschränken auf die Unter-
suchung der Kongruenz C = 0 (q), wobei q irgendein Primärideal
ist. Es ist ferner eine Vereinfachung, aber keine tatsächliche Beschrän-
kung, wenn man die Nullstelle P von q in den Ursprung x = 0, y = 0
verlegt. Nun sei g {x,y) nach Dimensionen geordnet:
(13) .7^,?/) = ^ + ^+ • • +gn (x, ij)
wo allgemein gH eine binäre Form x V Grades in x, y bedeutet. Die
Voraussetzung des Satzes (11), daß P einfacher Punkt von g(x, y^ — Q
ist, bedeutet:
(14)
9i y) — ax + t (o, o) >
also etwa a 4 0.
(15) Wir schreiben q — (/) g, U)
fF (^ -y, . . y-')
H. Kapferer :
Es wurde aber in der vorhergehenden Abhandlung gezeigt, daß
jede derartige Rangbedingung, wie sie in (11) auftritt — die Rangzahl
selbst mit /z bezeichnet —, jeweils äquivalent ist einem System von /z
homogenen linearen Gleichungen für die Koeffizienten von Cv (x,y\
die man explizite aufstellen kann, und zwar auf Grund jenes
Differentiationsverfahrens (a. a. O. § 2). Bei letzterem mußte allerdings
die Grundkurve irreduzibel sein. Diese Beschränkung wird nachher
wegfallen; sie war nur methodisch einigermaßen begründet, nicht tat-
sächlich. Ferner wurde gezeigt (a. a. O. § 4, (22)), daß jene /z Gleichungen
auch dann noch — und zwar dann in trivialer Weise — erfüllt werden,
wenn Cv (x, y) = 0 (g (x, y)ß Somit haben wir das Ergebnis:
Die m • n linearen Bedingungsgleichungen des Hauptsatzes
§ 1, (2) lassen sich auch explizite aufstellen, falls jede gemein-
same Nullstelle von f und g entweder in f oder in g oder in
beiden einfache Nullstelle ist.
Der Satz (11) wurde von mir a. a. O. als spezieller Fall aus
einem rationalen Kriterium für den allgemeinsten Fall desNoETHERSchen
Fundamentalsatzes abgeleitet. Ich hatte damals schon behauptet (a.a. O.
Seite 79, Fußnote), daß ersieh auch direkt beweisen läßt. Dies
soll jetzt hier geschehen, aber nicht nach meiner Methode, sondern
nach einem Gedankengang, den ich nachträglichen brieflichen Mitteilungen
von E. Noether in Göttingen verdanke.
Wie schon in § 2 bemerkt, ist die Kongruenz C (x,y) = 0 (/”, g)
äquivalent den s Kongruenzen C = 0 (qj, wo q^ für i = 1, 2, . . s die
s den verschiedenen s Schnittpunkten x = c^, y — ßi zugehörigen Primär-
ideale von (/) g) sind. Man kann sich also beschränken auf die Unter-
suchung der Kongruenz C = 0 (q), wobei q irgendein Primärideal
ist. Es ist ferner eine Vereinfachung, aber keine tatsächliche Beschrän-
kung, wenn man die Nullstelle P von q in den Ursprung x = 0, y = 0
verlegt. Nun sei g {x,y) nach Dimensionen geordnet:
(13) .7^,?/) = ^ + ^+ • • +gn (x, ij)
wo allgemein gH eine binäre Form x V Grades in x, y bedeutet. Die
Voraussetzung des Satzes (11), daß P einfacher Punkt von g(x, y^ — Q
ist, bedeutet:
(14)
9i y) — ax + t (o, o) >
also etwa a 4 0.
(15) Wir schreiben q — (/) g, U)
fF (^ -y, . . y-')