Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine idealtheoretische Lösung des ÜRAMEEsehen Paradoxons usw. 29

Dann folgt aus (13) und (14)
£ = —--y mod (£2, g(x,y)}
Qj
und allgemein, von x—1 auf x schließend:
Aus x = v(y) mod \ g') folgt durch Einsetzen in (13)
(16) a? = w (?/) mod (^ gr),
wo v («/) und w (y) Polynome in y allein bedeuten.
Insbesondere existiert also auch eine Kongruenz der Art (16) für
x = q. Es ist aber wegen (15)
= 0 (q) und g = 0 (q)
und daher wegen (16)
H=x—w(y) = 0 (q)
Wir schreiben q = (/*, g, pe) = (/*, g, H).
Indem man x durch w (t/) ersetzt, erhält man
q = (/M g(y), ye>
wo f (y), g{y) Polynome in y allein sind; also q = (y^, H), wobei
2/^ der größte gemeinsame Teiler von f (?/), g (?/), y® ist. Wir haben
also — das ist das Wesentliche — eine neue und vereinfachte Basis
des Primärideals q gewonnen durch den Übergang von (15) zu
(17) q = (?/U (?/))
Dabei ist zu beachten, daß der Exponent y zugleich den Bang des
Restklassenrings mod q angibt; denn die y Potenzen von y.if, y1,
.. . y^—1 stellen schon ein volles Repräsentantensystem von linear un-
abhängigen Restklassen mod q = (y^, x—wfy)') dar.
Unser Satz (11) folgt nun nach E. Noether so: Sei q der dem
Punkt P entsprechende Primärteiler von (/) g), wo f teilerfremd zu g
und q der demselben P entsprechende Primärteiler von (C, g\ wo C(oc)
teilerfremd zu g-, dann ist für C=O(q) notwendig und hinreichend, daß
q = 0 (q) ist.
Da aber q = (^, x—w (y))
q = (y^, x—w (y))
gesetzt werden darf, so folgt aus q = 0 (q) notwendig:
y^ = 0 (y^, also y > y,
womit der Inhalt des Satzes (11) verifiziert ist.