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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0036
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Arnold Scholz:
('genau’ für 1 <k 2 Z — 1; für 2=Z: Zter Potenzrest), so ist jK
vom Grade ZZerfällt nämlich q nicht in Kp, so ist offenbar
Vs“ UF ;‘= F- = Z- potenzrest und (®l,X) = (1), also auch
5dl = (1). Zerfällt aber«?1, so ist in Kp jede Einheit Fl!k Potenzrest mod ^,da
ihre Norm: — = Hz 1 und eine erzeugende Zahlrestklasse in
bezug auf die Zkh Potenzreste mod q die Ordnung (Z, Sg—1)= (l,YYS^') be-
sitzt, wenn man in gleich durch 1 ersetzt und nur mit der Variabein 82
operiert. In jedem Falle machen dann die Einheiten in eine Unter-
gruppe Potenzreste mod q aus, wo (Z, F) | | 8^ — 1, und für (£y, Z)
kommen nur die Moduln (Z, F) mit l<^2<kZ in Frage, wobei (Z, F) -
(Z, 8 g—1) ist. Da aber alle Einheiten in Kp symbolische Potenzen von
mit mod Z ganzen Exponenten sind, gehört tj1 in bezug auf die Zk?
Potenzreste mod q zum Modul (Z, £y) = (l, F‘), nach dem es Z' Rest-
klassen gibt, die die Idealklassengruppe von ZfJ ? repräsentieren.
/ Kp ist also vom Grade z\ ein Produkt von 2 relativ zyklischen
Körpern Grades. Wie man sich weiter leicht überlegt, kann man
jede Zahl in Kp mit einer Einheit gerade so multiplizieren, daß
man eine Zahl erhält, die Zfk Potenzrest nach Z—2 willkürlich gewählten
r, • .. x 11ax P) (2+1) (Z—1) , „ (7—1)
Pnmarteilern:lla) x , x , . . . x von q—xx, x ... x
ist. Bei dieser Normierung repräsentieren die Zhk Potenzreste mod q die
Idealgruppe von Kp. Erst zu einem (beliebigen) Produkt von
Z—2 + 1 Primteilern von q als Führer, folgt daraus, gibt es einen zykli-
schen Körper Kr / 71^, und zwar zu jedem solchen Führer nur einen11),
und J lsf das Produkt etwa der Klassenkörper mit den Führern:
xllx^, x'I7x(/t),. .. II yY^ ; die zugehörigen Idealgruppen be-
stehen nach der obigen Normierung aus den ZT? Potenzresten nach
ö l l
diesen Führern. Diese Produktzerlegung von K / liefert, daß
lla) In unserer Terminologie Hauptideale, d. h. eine Jk Potenz xJ mit
(J, Z) = 1 ist Zahlideal. Diese Zahlidealeigenschaft ist in 4. wesentlich, die Er-
hebung in eine Jk Potenz unwesentlich. Zur Hervorhebung des Wesentlichen
verwenden wir hier darum den griechischen Buchstaben x.
n) Ein solcher Körper ist aber nicht absolut normal, sondern sein Normal-
körper ist der Körper K1 q selbst.
Arnold Scholz:
('genau’ für 1 <k 2 Z — 1; für 2=Z: Zter Potenzrest), so ist jK
vom Grade ZZerfällt nämlich q nicht in Kp, so ist offenbar
Vs“ UF ;‘= F- = Z- potenzrest und (®l,X) = (1), also auch
5dl = (1). Zerfällt aber«?1, so ist in Kp jede Einheit Fl!k Potenzrest mod ^,da
ihre Norm: — = Hz 1 und eine erzeugende Zahlrestklasse in
bezug auf die Zkh Potenzreste mod q die Ordnung (Z, Sg—1)= (l,YYS^') be-
sitzt, wenn man in gleich durch 1 ersetzt und nur mit der Variabein 82
operiert. In jedem Falle machen dann die Einheiten in eine Unter-
gruppe Potenzreste mod q aus, wo (Z, F) | | 8^ — 1, und für (£y, Z)
kommen nur die Moduln (Z, F) mit l<^2<kZ in Frage, wobei (Z, F) -
(Z, 8 g—1) ist. Da aber alle Einheiten in Kp symbolische Potenzen von
mit mod Z ganzen Exponenten sind, gehört tj1 in bezug auf die Zk?
Potenzreste mod q zum Modul (Z, £y) = (l, F‘), nach dem es Z' Rest-
klassen gibt, die die Idealklassengruppe von ZfJ ? repräsentieren.
/ Kp ist also vom Grade z\ ein Produkt von 2 relativ zyklischen
Körpern Grades. Wie man sich weiter leicht überlegt, kann man
jede Zahl in Kp mit einer Einheit gerade so multiplizieren, daß
man eine Zahl erhält, die Zfk Potenzrest nach Z—2 willkürlich gewählten
r, • .. x 11ax P) (2+1) (Z—1) , „ (7—1)
Pnmarteilern:lla) x , x , . . . x von q—xx, x ... x
ist. Bei dieser Normierung repräsentieren die Zhk Potenzreste mod q die
Idealgruppe von Kp. Erst zu einem (beliebigen) Produkt von
Z—2 + 1 Primteilern von q als Führer, folgt daraus, gibt es einen zykli-
schen Körper Kr / 71^, und zwar zu jedem solchen Führer nur einen11),
und J lsf das Produkt etwa der Klassenkörper mit den Führern:
xllx^, x'I7x(/t),. .. II yY^ ; die zugehörigen Idealgruppen be-
stehen nach der obigen Normierung aus den ZT? Potenzresten nach
ö l l
diesen Führern. Diese Produktzerlegung von K / liefert, daß
lla) In unserer Terminologie Hauptideale, d. h. eine Jk Potenz xJ mit
(J, Z) = 1 ist Zahlideal. Diese Zahlidealeigenschaft ist in 4. wesentlich, die Er-
hebung in eine Jk Potenz unwesentlich. Zur Hervorhebung des Wesentlichen
verwenden wir hier darum den griechischen Buchstaben x.
n) Ein solcher Körper ist aber nicht absolut normal, sondern sein Normal-
körper ist der Körper K1 q selbst.