Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz:

in diesem Falle möge K) Normkörper heißen, so sind demnach alle
bis auf höchstens einen Unterkörper K/k Normkörper. Es sind also
folgende drei Hauptfälle möglich: A) Alle Z+1 Unterkörper sind Norm-
körper. B) 1 Unterkörper sind Normkörper. C) Kein Unterkörper ist
Normkörper.
AVir betrachten jetzt den besonderen Fall A): Gibt es in K eine
Einheit, deren Relativnorm in jedem der Z+l Unterkörper IQ eine
Grundeinheit ist, so daß
• r-
V=Vi m E,

so lassen sich alle Einheiten aus E als symbolische Potenzen von 77
darstellen. In diesem Falle besitzt also der Abelsche Körper K eine
1
Grundeinheit PQ im entsprechenden Sinne wie jeder zyklische Körper
vom Grade l.
Um das zu beweisen, zeigen wir: wenn mit 77 die Alteinheit 77'
in E liegt und 77' eine Potenz von 77 ist, so ist auch schon 77' eine
Potenz von 77. Das genügt offenbar, da die Y^ Potenz jeder Alt-
einheit schon H angehört und damit nach (4) eine Potenz von 77 ist. Sei nun
Y F Y
77' =77 , wegen 772 =1 ein Potenzprodukt von •t]1 und den va allein,
so ist F=Q nach der Ordnung (N Si, Y) von 773, und man kann 773
durch Multiplikation mit einer Potenz von 77 und damit F additiv um
2
ein Vielfaches von Y so abändern, daß F=F'2Si, imd man hat:
JA ] Jj1'
T]’ • Dann ist 77' selbst ein Potenzprodukt von 7^ und 773, und
zwar mindestens vom Grade 1 — 2, da es nur 2 Faktoren besitzt und
als Einheit in E die Gleichgewichtsbedingung erfüllen muß. Entweder
liegt es dann überhaupt in H, oder beide Faktoren sind vom Grade l— 2.
Im ersten Fall ist 77' sicher eine Potenz von 77, im zweiten Fall gilt

(5)

H

anderseits ist

Al. -aXZ~2
77 H = ?7X
mit irgendwelchen a, c 4 0 (7);
II
a i 0, a . .
77 1 H =

4
also ihr Quotient H < E, was unmöglich.
Im Falle B) eines Nichtnormkörpers IQ kann man, falls außerdem
alle Relativnormen in bezug auf IQ ZI? Potenzen sind, analog schließen,
daß 77 = 77317va mit 77J zusammen die Gruppe E erzeugt, so daß rj