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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0041
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 41
in bezug auf die Alteinheitengruppe als Grundeinheit angesehen werden
kann: Man stößt hier ebenso auf tj' < H oder die Gleichung (5), welche
hier unmöglich ist, weil 7]t nur durch l teilbare Exponenten haben darf.
In diesen beiden sowie in jedem Falle einer solchen Grund-
einheit e: e' = t] = ^ r]2IIva ist die Spannung e = — 9 und.
zwar ist ßZ_1 = (XZ_1, Xl~2 Y,... die Ordnung von 77 in be¬
zug auf H: Daß nämlich jedes Polynom aus ß 1 die Alteinheit 7] in
die ZP Potenz einer solchen überführt, ist klar. Daß aber kein weiteres
dies tut, dazu genügt es zu zeigen, daß für kein homogenes F (X, F) -
X £0 (Z) vom Grade 1 — 2 dies der Fall ist. Denn dann
bewirkt dies auch kein F+Zf (7/ < . ß^ und kein niederer Aus¬
druck. Nun ist
(6) F(X, E) = XZ_2NnAa ~2_2, mod (S2-S1a, ß*"1),
da Y=aX mod (tf2- S/, ß2). Wenn aber F (X, Y) £ 0 (Z), kann die
Kongruenz (6) höchstens Z—2 Wurzeln a haben, während rj <H er-
fordert, daß es für alle a=l, ...Z—1 und a = 0 verschwindet, damit
jedes va und t}2 in Zter Potenz auftritt, und für v = 0 noch, daß a0 = 0,
damit auch tj1 in ZP£ Potenz auftritt. Es ist also wirklich ß^ 1 eis^
die Ordnung von 77, und man hat dazu noch erhalten, daß eine Potenz
von t] vom Grade Z—2 mindestens zwei Faktoren, für r = 0 sogar drei
Faktoren Z— 2 P? Grades besitzen muß, weil die Kongruenz (6) in zwei
bzw. drei Bedingungen sicher versagt; daß vor allem die aus tj er-
zeugte Gruppe nicht gegen die Gleichgewichtsbedingung verstößt. Da
Z (Z 1)
es ferner Z Restklassen mod ß^ gibt, ist e = .
Die Existenz einer relativen Grundeinheit in K in den Fällen A)
und B) können wir nach den bisherigen Untersuchungen nur als Sonder-
fall ausehn. Im Falle B) muß zwar stets eine Einheit der Gestalt
yV . _
V — Vi V2 ^Va (T j> 0) in E vorkommen, aber sie braucht für v<Z — 1
noch nicht mit H die Gruppe E zu erzeugen. Dann aber wird e>(5-
1—1 _
Im Falle A) brauchte auch nicht eine Einheit 7j17]2F[va in E
— 0=1
vorzukommen, sondern E könnte zwei Erzeugende:
2—1 J
V = ^2 # va und 7]' = n va' «; Ja = a (ß)
besitzen. Daß dies der einzige andere Typus von A) ist, der die
Gleichgewichtsbedingung erfüllt, darauf soll hier nicht mehr eingegangen
werden. Jedenfalls ist bei mehreren Erzeugenden immer e>(Q.
in bezug auf die Alteinheitengruppe als Grundeinheit angesehen werden
kann: Man stößt hier ebenso auf tj' < H oder die Gleichung (5), welche
hier unmöglich ist, weil 7]t nur durch l teilbare Exponenten haben darf.
In diesen beiden sowie in jedem Falle einer solchen Grund-
einheit e: e' = t] = ^ r]2IIva ist die Spannung e = — 9 und.
zwar ist ßZ_1 = (XZ_1, Xl~2 Y,... die Ordnung von 77 in be¬
zug auf H: Daß nämlich jedes Polynom aus ß 1 die Alteinheit 7] in
die ZP Potenz einer solchen überführt, ist klar. Daß aber kein weiteres
dies tut, dazu genügt es zu zeigen, daß für kein homogenes F (X, F) -
X £0 (Z) vom Grade 1 — 2 dies der Fall ist. Denn dann
bewirkt dies auch kein F+Zf (7/ < . ß^ und kein niederer Aus¬
druck. Nun ist
(6) F(X, E) = XZ_2NnAa ~2_2, mod (S2-S1a, ß*"1),
da Y=aX mod (tf2- S/, ß2). Wenn aber F (X, Y) £ 0 (Z), kann die
Kongruenz (6) höchstens Z—2 Wurzeln a haben, während rj <H er-
fordert, daß es für alle a=l, ...Z—1 und a = 0 verschwindet, damit
jedes va und t}2 in Zter Potenz auftritt, und für v = 0 noch, daß a0 = 0,
damit auch tj1 in ZP£ Potenz auftritt. Es ist also wirklich ß^ 1 eis^
die Ordnung von 77, und man hat dazu noch erhalten, daß eine Potenz
von t] vom Grade Z—2 mindestens zwei Faktoren, für r = 0 sogar drei
Faktoren Z— 2 P? Grades besitzen muß, weil die Kongruenz (6) in zwei
bzw. drei Bedingungen sicher versagt; daß vor allem die aus tj er-
zeugte Gruppe nicht gegen die Gleichgewichtsbedingung verstößt. Da
Z (Z 1)
es ferner Z Restklassen mod ß^ gibt, ist e = .
Die Existenz einer relativen Grundeinheit in K in den Fällen A)
und B) können wir nach den bisherigen Untersuchungen nur als Sonder-
fall ausehn. Im Falle B) muß zwar stets eine Einheit der Gestalt
yV . _
V — Vi V2 ^Va (T j> 0) in E vorkommen, aber sie braucht für v<Z — 1
noch nicht mit H die Gruppe E zu erzeugen. Dann aber wird e>(5-
1—1 _
Im Falle A) brauchte auch nicht eine Einheit 7j17]2F[va in E
— 0=1
vorzukommen, sondern E könnte zwei Erzeugende:
2—1 J
V = ^2 # va und 7]' = n va' «; Ja = a (ß)
besitzen. Daß dies der einzige andere Typus von A) ist, der die
Gleichgewichtsbedingung erfüllt, darauf soll hier nicht mehr eingegangen
werden. Jedenfalls ist bei mehreren Erzeugenden immer e>(Q.