DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0043
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 43
Diese Überlegung wenden wir jetzt auf unsern Körper K^'
an, indem wir ihn als relativ zyklischen Körper vom Grade Z über
allen seinen Z+l Unterkörpern betrachten. Unter diesen haben die
beiden Stammkörper und Zf2 = kJ eine zu Z prime Klassen¬
zahl, so daß nur der oben besprochene Fall: (aö) = (coö) 1/z in Frage
kommt. Bei den Z—1 Zwischenkörpern liegt es gerade umgekehrt, da
ZU ZfJ über ihnen unverzweigt ist. Die Gruppe der Einheitsnormen
besteht in jedem Falle aus den (FUE) Potenzen der Einheiten
des Unterkörpers, da dies die einzige gegenüber den Substitutionen
der Galoisschen Gruppe invariante Einheitengruppe vom Index lv ist.
Der Unterkörper ist nach unserer Bezeichnung Normkörper, wenn v = 0,
also nur ein unabhängiges invariantes Ideal (aö) existiert.
N ormkörper
ist hiernach
Kp Nichtnormkörper, da DU = (1). Für
wir das eben erhaltene Resultat noch präzisieren,
4. Betrachten wir zuerst den Körper als Unterkörper von Zf.
/ (7 \ . . I . .
Entweder ist I 1. Dann ist G) Primideal in Kp und das einzige
Ideal, welches von auf K1 K1 in eine ZE Potenz zerfällt. K ist
’ p p a P
also Normkörper. Nach 1. ist DU = (1)’.
Oder es ist ( - /7
\p/l
= C(K- Man hat in K die Z unabhängigen invarian-
ten Ideale: q^f, q|h .. . q^f . Soll aber Kp Normkörper sein, also
nur ein unabhängiges invariantes Hauptideal vorkommen, so darf noch
2 yZ—1
nicht , sondern erst qj- Hauptideal sein. Die Idealklasse
q J = (1), die Ordnung (Z, X, Y^ Die
sein soll, und diese Bedingung ist auch
Z-2
, sondern erst qj£
von qK muß also, da q_^ = (x),
besitzen, wenn
hinreichend.
Für (-1+1
hg'/Z
[ — V = 1 können
wenn wir außerdem die Idealverhältnisse in Z1J betrachten. Dort ist
G)ÜZ = (£) = (£&) = ...=(£ ? 5 und ^^=?72die Grundeinheit,nach 3.
Also ist £ genau Potenzrest, wenn z/2 gerade Potenz¬
rest modp und 2<Z, d. h. wenn (DU, E) = (Z, A^—1, l7) und 2<Z. —
Schon hieraus folgt, da £ in ZT zerfallen soll, also mindestens AEl
(-^ = 1. Dann zerfälltlla) xx*^2 .. . x$2 ’n
In K wird (x)1^
Diese Überlegung wenden wir jetzt auf unsern Körper K^'
an, indem wir ihn als relativ zyklischen Körper vom Grade Z über
allen seinen Z+l Unterkörpern betrachten. Unter diesen haben die
beiden Stammkörper und Zf2 = kJ eine zu Z prime Klassen¬
zahl, so daß nur der oben besprochene Fall: (aö) = (coö) 1/z in Frage
kommt. Bei den Z—1 Zwischenkörpern liegt es gerade umgekehrt, da
ZU ZfJ über ihnen unverzweigt ist. Die Gruppe der Einheitsnormen
besteht in jedem Falle aus den (FUE) Potenzen der Einheiten
des Unterkörpers, da dies die einzige gegenüber den Substitutionen
der Galoisschen Gruppe invariante Einheitengruppe vom Index lv ist.
Der Unterkörper ist nach unserer Bezeichnung Normkörper, wenn v = 0,
also nur ein unabhängiges invariantes Ideal (aö) existiert.
N ormkörper
ist hiernach
Kp Nichtnormkörper, da DU = (1). Für
wir das eben erhaltene Resultat noch präzisieren,
4. Betrachten wir zuerst den Körper als Unterkörper von Zf.
/ (7 \ . . I . .
Entweder ist I 1. Dann ist G) Primideal in Kp und das einzige
Ideal, welches von auf K1 K1 in eine ZE Potenz zerfällt. K ist
’ p p a P
also Normkörper. Nach 1. ist DU = (1)’.
Oder es ist ( - /7
\p/l
= C(K- Man hat in K die Z unabhängigen invarian-
ten Ideale: q^f, q|h .. . q^f . Soll aber Kp Normkörper sein, also
nur ein unabhängiges invariantes Hauptideal vorkommen, so darf noch
2 yZ—1
nicht , sondern erst qj- Hauptideal sein. Die Idealklasse
q J = (1), die Ordnung (Z, X, Y^ Die
sein soll, und diese Bedingung ist auch
Z-2
, sondern erst qj£
von qK muß also, da q_^ = (x),
besitzen, wenn
hinreichend.
Für (-1+1
hg'/Z
[ — V = 1 können
wenn wir außerdem die Idealverhältnisse in Z1J betrachten. Dort ist
G)ÜZ = (£) = (£&) = ...=(£ ? 5 und ^^=?72die Grundeinheit,nach 3.
Also ist £ genau Potenzrest, wenn z/2 gerade Potenz¬
rest modp und 2<Z, d. h. wenn (DU, E) = (Z, A^—1, l7) und 2<Z. —
Schon hieraus folgt, da £ in ZT zerfallen soll, also mindestens AEl
(-^ = 1. Dann zerfälltlla) xx*^2 .. . x$2 ’n
In K wird (x)1^