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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0046
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Arnold Scholz:
X'<ta 0 (991) oder nicht. Diese Untersuchung ist sogar allgemein
für den Fall eines Grundkörpers Ex brauchbar, der nicht enthält, für
den E der maximale Abelsche Unterkörper von E ist und dabei für
die Stammkörpersubstitutionen: Sx = = E in gilt; insbesondere
für den Fall, daß die Klassenzahl von Ko zu l prim ist und die
Stammkörper Primidealpotenzführer besitzen (und ^<|^X0). Wir wollen
die Untersuchung systematisch wieder nur für 991 | Z durchführen.
Wir haben es dann immer mit Kongruenzen nach dem Modul
91 = CG X^ \ 1) oder Teilern von 91 zu tun.
1. Für 991 = (1) sind alle Zwischenkörper E Normkörper, da sie nur
eine (erzeugende) Idealklasse besitzen, die gerade in K in die Haupt-
klasse übergeht. Für 991 4 (1) ist £ ' 991 und p,a > 0.
2. Im Zwischenkörper Eist für /z1 — 1 entscheidend, ob (ßx 1 = E
in (S). (&J *S2) ist eine Potenz des Kommutators *S2 $2 ,
und zwar ist dessen Exponent:
s2+(i+sp1) si+(i+sr1+Si-8)s2s+....+Ts1-x &E
~sE (p sE i'' y1
M U/ 1 2=0 1
~XZ-2+xZ~3 Y + ... + Yl~2= VW (mod 91).
(Äquivalenz: ~ bedeute: ?abgesehen von einem Faktor JX)
Es ist E dann und nur dann Normkörper, wenn F(1) $ 0 (991).
Für /,q > 1 wird ausschlaggebend:
9 l~1
1 2
E ist dann Normkörper, wenn * 0(991).
Die entsprechenden Kriterien für E erhält man, indem man *Si
a
durch S“ also X durch 2Ya , X" ersetzt. Den aus K= V^ dabei
1 ct=l \ /
hervorgehenden entscheidenden Ausdruck bezeichnen wir mit 1 a.
OT1*.. ? i ■ *- tz 1 W~2 W~2, also E dann und nur dann
3. ±ur/za=6 —1 ist v a~.— A I ’ a
U
Normkörper, wenn 991 = 91- Denn jeder echte Teiler von 91 enthält
das Polynom X? Y^ 2, weil es mod 91 als Vielfaches jedes beliebigen
-F<|^91 darstellbar ist.
4. Um den Fall 991 \l allgemein zu erledigen, führen wir die
Dimension /z des Moduls 991: ein: Ein Ausdruck ,FW (X, 1) heiße von
Arnold Scholz:
X'<ta 0 (991) oder nicht. Diese Untersuchung ist sogar allgemein
für den Fall eines Grundkörpers Ex brauchbar, der nicht enthält, für
den E der maximale Abelsche Unterkörper von E ist und dabei für
die Stammkörpersubstitutionen: Sx = = E in gilt; insbesondere
für den Fall, daß die Klassenzahl von Ko zu l prim ist und die
Stammkörper Primidealpotenzführer besitzen (und ^<|^X0). Wir wollen
die Untersuchung systematisch wieder nur für 991 | Z durchführen.
Wir haben es dann immer mit Kongruenzen nach dem Modul
91 = CG X^ \ 1) oder Teilern von 91 zu tun.
1. Für 991 = (1) sind alle Zwischenkörper E Normkörper, da sie nur
eine (erzeugende) Idealklasse besitzen, die gerade in K in die Haupt-
klasse übergeht. Für 991 4 (1) ist £ ' 991 und p,a > 0.
2. Im Zwischenkörper Eist für /z1 — 1 entscheidend, ob (ßx 1 = E
in (S). (&J *S2) ist eine Potenz des Kommutators *S2 $2 ,
und zwar ist dessen Exponent:
s2+(i+sp1) si+(i+sr1+Si-8)s2s+....+Ts1-x &E
~sE (p sE i'' y1
M U/ 1 2=0 1
~XZ-2+xZ~3 Y + ... + Yl~2= VW (mod 91).
(Äquivalenz: ~ bedeute: ?abgesehen von einem Faktor JX)
Es ist E dann und nur dann Normkörper, wenn F(1) $ 0 (991).
Für /,q > 1 wird ausschlaggebend:
9 l~1
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E ist dann Normkörper, wenn * 0(991).
Die entsprechenden Kriterien für E erhält man, indem man *Si
a
durch S“ also X durch 2Ya , X" ersetzt. Den aus K= V^ dabei
1 ct=l \ /
hervorgehenden entscheidenden Ausdruck bezeichnen wir mit 1 a.
OT1*.. ? i ■ *- tz 1 W~2 W~2, also E dann und nur dann
3. ±ur/za=6 —1 ist v a~.— A I ’ a
U
Normkörper, wenn 991 = 91- Denn jeder echte Teiler von 91 enthält
das Polynom X? Y^ 2, weil es mod 91 als Vielfaches jedes beliebigen
-F<|^91 darstellbar ist.
4. Um den Fall 991 \l allgemein zu erledigen, führen wir die
Dimension /z des Moduls 991: ein: Ein Ausdruck ,FW (X, 1) heiße von