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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0047
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 47
(7)
die g — /zß-1 Zeilen und g — 2/z + l
g — 2/z+l ist: Ist nämlich der
a0
ai
darstellen, wo H„
mindestens von der Dimension /z-|-l ist.
aber kein Fa_1
eines F1 oder FL soll stets die Dimension an-
Spalten besitzt und vom Dang
erste Koeffizient 4 0 (Z), so ver-
in ist dann gleich /z, wenn in TI irgendein
Fti = FF/(+ F({ + 1; II n = Zax X* Y‘" z vorkommt, für das^2Wx a|W x
$ 0 (T). Denn dann ist F^ mod (l, S2 — Si) vom Grade /z in der einen
Variablen X. Ist aber 2 a% * = 0 (Z) für alle F^CTI, so ist /za>/z.
Da die Fälle ^=0 und = Z—1 in 1. und 3. schon erledigt sind,
können wir im folgenden 0</z< Z —1 annehmen.
5. Wir beweisen jetzt: Ist /z die Dimension von TI, so liegen alle
Ausdrücke einer Dimension g>Z + /z—2 in Ti- Für Glieder 2Z—3151
Dimension ist das stets richtig, da sie entweder durch 1 oder 1
teilbar sind. Wir nehmen den Satz für o>g als richtig an (S^^CTI)
und beweisen ihn dann für g:
Ist Fl( — 2 aKX^ Y/l - -I, u + 1 ein Polynom aus TI, so erhält
man alle durch Fu mod (ß8 rl, T) ausdrückbaren Polynome der Di-
mension g durch Multiplikation mit homogenen Polynomen (g—/z)_
Dimension. Dabei kann man Fl( gleich durch seinen homogenen Be-
standteil II ersetzen, und bei den Polynomen g K Dimension braucht
man nur die Glieder Z^ = X8~“Y‘u, X8~u~l Y‘u... X^ Y8~u zu
berücksichtigen, da schon ein Exponent g — /j, 4-1 > Z — 1. Es drücken
sich dann mod T die Z^8 W ^8
durch die Z^ aus mittels
j (^Z'8 X8 X8 Y8
der Substitution :
' a. 0
«1 \ \
: \
der Dimension [a, wenn er Glieder a%^ X“ Y (x-f-Z = /z) vom Ge-
samtgrad [a besitzt, aber keine von geringerem Gesamtgrad. Man kann
also immer Fkl = II,, + F'( + 1 darstellen, wo Ii^ homogen von der
Dimension p. und F(t + 1
TI heiße dann von der Dimension /z, wenn es ein Fb,
enthält. (Der Index
geben.) Der für den Körper K entscheidende Exponent /za, für den
gerade { C } = F
(7)
die g — /zß-1 Zeilen und g — 2/z + l
g — 2/z+l ist: Ist nämlich der
a0
ai
darstellen, wo H„
mindestens von der Dimension /z-|-l ist.
aber kein Fa_1
eines F1 oder FL soll stets die Dimension an-
Spalten besitzt und vom Dang
erste Koeffizient 4 0 (Z), so ver-
in ist dann gleich /z, wenn in TI irgendein
Fti = FF/(+ F({ + 1; II n = Zax X* Y‘" z vorkommt, für das^2Wx a|W x
$ 0 (T). Denn dann ist F^ mod (l, S2 — Si) vom Grade /z in der einen
Variablen X. Ist aber 2 a% * = 0 (Z) für alle F^CTI, so ist /za>/z.
Da die Fälle ^=0 und = Z—1 in 1. und 3. schon erledigt sind,
können wir im folgenden 0</z< Z —1 annehmen.
5. Wir beweisen jetzt: Ist /z die Dimension von TI, so liegen alle
Ausdrücke einer Dimension g>Z + /z—2 in Ti- Für Glieder 2Z—3151
Dimension ist das stets richtig, da sie entweder durch 1 oder 1
teilbar sind. Wir nehmen den Satz für o>g als richtig an (S^^CTI)
und beweisen ihn dann für g:
Ist Fl( — 2 aKX^ Y/l - -I, u + 1 ein Polynom aus TI, so erhält
man alle durch Fu mod (ß8 rl, T) ausdrückbaren Polynome der Di-
mension g durch Multiplikation mit homogenen Polynomen (g—/z)_
Dimension. Dabei kann man Fl( gleich durch seinen homogenen Be-
standteil II ersetzen, und bei den Polynomen g K Dimension braucht
man nur die Glieder Z^ = X8~“Y‘u, X8~u~l Y‘u... X^ Y8~u zu
berücksichtigen, da schon ein Exponent g — /j, 4-1 > Z — 1. Es drücken
sich dann mod T die Z^8 W ^8
durch die Z^ aus mittels
j (^Z'8 X8 X8 Y8
der Substitution :
' a. 0
«1 \ \
: \
der Dimension [a, wenn er Glieder a%^ X“ Y (x-f-Z = /z) vom Ge-
samtgrad [a besitzt, aber keine von geringerem Gesamtgrad. Man kann
also immer Fkl = II,, + F'( + 1 darstellen, wo Ii^ homogen von der
Dimension p. und F(t + 1
TI heiße dann von der Dimension /z, wenn es ein Fb,
enthält. (Der Index
geben.) Der für den Körper K entscheidende Exponent /za, für den
gerade { C } = F