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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0049
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 49
(8) den Rang l—/li besitzen (was natürlich ebenso wie der Fall b)
nur für /t > 1 eintreten kann), und dann liegen wieder alle in 99b.
Wenigstens ist der Rang aber l—/x—A., da oberhalb der a0-Diagonalen
Nullen stehn, und es lassen sich alle ZQ (99b) darstellen.
Normiert man Fn so, daß a0 = 1, so erhält man die durch Reihen-
entwicklung von
—-= l+61^ + &2^2 + -• •
1 —j— Clj X -(- G/2 x -j- • • • ~r
7. Wb habe mehrere Erzeugende. Es liege also ein F{1 in Wb und
außerdem noch ein Fß + v (y > 0), das mod 9b kein Vielfaches
von Fu ist, weswegen v <( Z — 3. Dann multiplizieren wir Fu yv -
2ch * + F'^y^ mit den homogenen ü^g^ und erhalten
wieder wie oben in 6. Linearverbindungen der Z% von der Dimension
Z+/.1 —3, hier gegeben durch die Substitution:
Cv + 1 Gv.CO
Cl' + 2 cv + l • ’ • • C1 C0
CV + 3 CV +2 ■ • • *
Ersetzt man nun Flf + V durch F uyv — Y l( 2 c'H X* YV x (oder
‘ r' x=0
statt der F die H entsprechend), so wird bei passender Wahl der c' H:
c0 = Cj = ...—-Cj,= 0. Ist dann cvyx der erste nichtverschwindende
Koeffizient — ein solcher muß wegen Fflyv 4 FFfl (9b) existieren —
so ergibt die 2^Zeile; cvyy • • • 0 von (9), daß Zo < Wb und daher
jedes ZH < 99b, auch wenn das Fu unter den obigen Fall 6 a) ödere)
fällt, wo = \ Zo (99b).
8. Zusammen ergibt 6. und 7.: Es liegen auch noch alle Aus-
drücke Z+/z — 3 ter Dimension in 99b und vor allem die für die Zwischen-
körper K entscheidenden Va, und es ist dann kein K ein Normkörper,
a ja
außer wenn 99b durch einen Einsiedler oder ein F^2aKX* Y'a x-j-
F’//+1 allein erzeugt wird, für das a0 al( 4 0 und dabei die Substitution
(8) nur vom Rang l—[i— 1 ist. In dem Falle ist noch zu untersuchen,
wie weit die Fa in 99b liegen. Im Falle eines erzeugenden Einsiedlers
liegt kein Va in 90b. Denn Va hat wegen /u,a — p, die Gestalt:
wenn man die Glieder höherer Dimension gleich wegläßt. Alle Glieder
von Ra bis auf ein Außenglied liegen nach 6a) in Wb: Fa 4 0 (99b).
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(8) den Rang l—/li besitzen (was natürlich ebenso wie der Fall b)
nur für /t > 1 eintreten kann), und dann liegen wieder alle in 99b.
Wenigstens ist der Rang aber l—/x—A., da oberhalb der a0-Diagonalen
Nullen stehn, und es lassen sich alle ZQ (99b) darstellen.
Normiert man Fn so, daß a0 = 1, so erhält man die durch Reihen-
entwicklung von
—-= l+61^ + &2^2 + -• •
1 —j— Clj X -(- G/2 x -j- • • • ~r
7. Wb habe mehrere Erzeugende. Es liege also ein F{1 in Wb und
außerdem noch ein Fß + v (y > 0), das mod 9b kein Vielfaches
von Fu ist, weswegen v <( Z — 3. Dann multiplizieren wir Fu yv -
2ch * + F'^y^ mit den homogenen ü^g^ und erhalten
wieder wie oben in 6. Linearverbindungen der Z% von der Dimension
Z+/.1 —3, hier gegeben durch die Substitution:
Cv + 1 Gv.CO
Cl' + 2 cv + l • ’ • • C1 C0
CV + 3 CV +2 ■ • • *
Ersetzt man nun Flf + V durch F uyv — Y l( 2 c'H X* YV x (oder
‘ r' x=0
statt der F die H entsprechend), so wird bei passender Wahl der c' H:
c0 = Cj = ...—-Cj,= 0. Ist dann cvyx der erste nichtverschwindende
Koeffizient — ein solcher muß wegen Fflyv 4 FFfl (9b) existieren —
so ergibt die 2^Zeile; cvyy • • • 0 von (9), daß Zo < Wb und daher
jedes ZH < 99b, auch wenn das Fu unter den obigen Fall 6 a) ödere)
fällt, wo = \ Zo (99b).
8. Zusammen ergibt 6. und 7.: Es liegen auch noch alle Aus-
drücke Z+/z — 3 ter Dimension in 99b und vor allem die für die Zwischen-
körper K entscheidenden Va, und es ist dann kein K ein Normkörper,
a ja
außer wenn 99b durch einen Einsiedler oder ein F^2aKX* Y'a x-j-
F’//+1 allein erzeugt wird, für das a0 al( 4 0 und dabei die Substitution
(8) nur vom Rang l—[i— 1 ist. In dem Falle ist noch zu untersuchen,
wie weit die Fa in 99b liegen. Im Falle eines erzeugenden Einsiedlers
liegt kein Va in 90b. Denn Va hat wegen /u,a — p, die Gestalt:
wenn man die Glieder höherer Dimension gleich wegläßt. Alle Glieder
von Ra bis auf ein Außenglied liegen nach 6a) in Wb: Fa 4 0 (99b).
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