Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz :

Ist ffil ein ’Einsiedlermoduf, so sind demnach alle K Normkörper.
Im übrigbleibenden Fall 6 c), Rang Z—/z—1 ist K nicht Normkörper,
wenn p,a > /z oder wenn aRa = 2 Z^ = 2~ Z0=Q (ffil), d. h. wenn
a Wurzel der Kongruenz:
1 + . . . + a/; = 0
oder der Kongruenz:
= + . . + ^-^=0^)
ist; also wenn a Wurzel von
f .g = h(x) = x 1 + x'“ 1 + >'22 + • • • + = 0
ist. (Wegen der Entwicklung:-— -= 50 + Z>i x-\-b2 x2-\-...
l+«j a?+ ...
besitzt 1i(x) diese Koeffizientenlücke.) Entweder ist h(x) = x — 1,
und dann ist jedes a Wurzel und kein K Normkörper. Sonst kann man
h(x) ersetzen durch 99(5;) = ^ x^ ^-\-r2x^ 2+...+ r/{_1 x-\-rH +1.
Wieviel voneinander und von 0 verschiedene Lösungen 92 = 0 besitzt,
so viel Nichtnormkörper befinden sich unter den K. Schon dadurch
a
schalten wegen der Gleichgewichtsbedingung viele aus, weil danach
höchstens eine Lösung für <p = 0 in Frage kommt.
(5. Wir fassen jetzt die Ergebnisse aus 4. und 5. über die Norm-
körpereigenschaft der Stamm- und Zwischenkörper zusammen. Für
K lautete das Normkörperkriterium:
a
(10) Ba ax Xx Yl + »<,-*-* $ 0(3)1).
Für außer £ $ (modjö) in ZfJ:
(11) X2i~2 FZ-2 $ 0(Tl);
und für Zf^ außer 71 $ a (mod q) in .
(12) Xl~2 Y^~2$0(W),
wenn == 1. (Die Bezeichnungen sind dieselben wie in 4.
und 5.; und 22 haben die entsprechende Bedeutung wie 2 in 4.)
Da für die Stammkörper 2X —1 und 22 —1 a^s Gradexponenten von
ZfJ ? / K und / Zf die entsprechende Bedeutung haben wie /ta für
K, so entsprechen die Inkongruenzbedingungen (10), (11), (12) einander;
(10) geht nach Division durch für a — 0 in (12) über und dann