Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Richard Baldus:

man auf seinen Schenkeln die Strecke p an, die nach Satz a) von
Nr. 1 existiert; dann ist nach Satz e) die Strecke PQ < 2 p. Das
nach Satz b) existierende Lot PL hat nach Satz d) seinen Fuß-
punkt L auf der den Winkelschenkel bildenden Halbgeraden, und
vermöge Satz f) ist erst recht PL < 2 p. PL ist demnach durch
jede seiner Teilstrecken meßbar, daher auch, wenn ß irgendein Teil-
winkel von a ist, durch LA -— Satz c) —, daher verhält sich zu-
folge Satz g) auch a zu seinem Teilwinkel ß Archimedisch.

6. Damit ist zunächst gezeigt, daß alle Winkel Archimedisch
sind, wenn sich eine einzige Strecke zu allen ihren Teilstrecken
Archimedisch verhält. Liegt nun irgendeine Strecke CL, Abb. 1,
mit einer Teilstrecke CB vor, dann errichtet man in L ein Lot LP,
und da sich nach dem soeben gewonnenen Ergebnis <£ LPC zu
BPC Archimedisch verhält, folgt ohne weiteres aus Satz g),
daß sich auch CL zu CB Archimedisch verhält. D. h.:
A. Verhält sich, die Axiomgruppen I—III (in einer
nicht-linearen Geometrie) vorausgesetzt, eine einzige
Strecke zu jeder ihrer Teilstrecken Archimedisch, dann
verhalten sich irgend zwei Strecken zueinander Archi-
medisch, cl. h. die ganze Ebene (der ganze Raum) ist
Archimedisch.
Oder, wieder in der Ausdrucksweise Veroneses, ist eine ein-
zige Strecke bei beliebiger Wahl der Einheitsstrecke nie aktual
unendlich groß, dann sind zufolge den Axiomgruppen I—III bei
beliebiger Wahl der Einheitsstrecke alle Strecken endlich (keine
aktual unendlich groß oder aktual unendlich klein).
Nach Nr. 4 gilt Satz A nicht in der linearen Geometrie der
Deutung Veroneses. Daraus folgt, daß man diese mit den
Axiomgruppen I-—III verträgliche lineare Deutung zu
keiner mit den gleichen Axiomgruppen verträglichen
Deutung einer ebenen (oder räumlichen) Geometrie er-
weitern kann.
Das ist ein Spezialfall der folgenden Tatsache, die sich un-
mittelbar aus Satz A ergibt:
Es liege eine Nichtarchimedische (und nicht-lineare)1)

]) Der Zusatz „nicht-linear“ ist hier, ebenso wie im Satz A, streng ge-
nommen nicht nötig, und zwar aus folgendem Grund: In den Axiomgruppen
I-—III treten nicht-lineare Axiome auf. Eine lineare Deutung kann zwar mit