Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Klassifikation der regulären Scharen
quadratischer Formen.
Das Problem der Klassifikation der regulären Scharen1) qua-
dratischer Formen pflegt man nach WeieRstrass mit den Hilfs-
mitteln der Elementarteilertheorie zu lösen, indem man gewisse
Normalformen aufstellt, die zu den Grundformen der Schar äqui-
valent sind, in die sich die Grundformen also simultan durch
kogrediente Transformationen überführen lassen. Daß hier ein
enger und naturgemäßer Zusammenhang mit der Theorie der line-
aren Transformationen und deren Reduktion auf Normalformen be-
steht, scheint bisher nicht bemerkt worden zu sein. Das Formen-
problem läßt sich vollständig auf das Problem der Klassifikation
der linearen Transformationen zurückführen, und da dies letztere
die Hilfsmittel der Elementarteilertheorie nicht erfordert, werden
sie auch für das erste entbehrlich, was man wohl, wenigstens bei
geometrischen Anwendungen, als einen methodischen Gewinn be-
trachten kann. Den genannten Zusammenhang aufzudecken, ist
das Ziel der vorliegenden Arbeit.
§ 1. Paare quadratischer Formen.
1. Seien P, Q die symmetrischen Matrizen, welche zu den
Grundformen f (x, x), g (x, x) einer Schar quadratischer Formen
von n Variabein gehören, deren zweite regulär sei, also
(1) P = Pb Q = Q', |Q| 4= 0.
Unterwirft man die Variabein einer regulären linearen Transfor-
mation
(2) x = Sy, | S|

x) Eine Schar quadratischer Formen heißt regulär, wenn ihre Determinante
nicht identisch verschwindet; man kann dann durch geeignete Wahl der Grund-
formen stets erreichen, daß die Determinante wenigstens einer Grundform der
Schar von Null verschieden ist (vgl. 4.).