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https://doi.org/10.11588/diglit.43606#0007
Zur Klassifikation der regulären Scharen quadratischer Formen.
7
so folgt umgekehrt
(15) M = a P—<5 Q, N = ß P—y Q, | Q | =ß 0-
Transformiert man nun simultan P, Q in ihre Normalformen iß, D,
so gehen die Matrizen M, N in gewisse Normalformen
(16) 997 = aiß—<5D, 97 = ß$—y&
über. Offenbar zerfallen die Matrizen 97 in Länder und Felder
997 hk bzw. 97 hk in gleicher Weise wie iß, D, und falls man noch
(17) «Ah —<5 = ah, ^Ah—y =bh
setzt, so ist
0
ah
ah a
0
b h
bh ß
(18) 997hk =
ah
0
bh
0
ah a
J3h ß
Damit hat man dann die bekannten Weierstrass sehen
Normalformen1 *) der Matrizen, welche zu den Grund-
formen einer beliebigen regulären Schar quadratischer
Formen gehören.
Man könnte nun, von den Normalformen 997, 97 ausgehend, die
Theorie der Elementarteiler der Formenschar C entwickeln, die
ja bei Weierstrass den Ausgangspunkt seiner Untersuchungen
und das charakteristische Hilfsmittel bildet.
5. Ist eine Formenschar reell und enthält eine definite Form
von nicht verschwindender Determinante, so wird man deren Ma-
trix Q als eine der beiden reellen Grundformen P, Q wählen. Da
sich nun die definite Form kogredient in die Summe von n Qua-
draten transformieren läßt, so existiert eine reelle reguläre Matrix
S so, daß Qi = S' Q S = (±} E ist, wenn E die Einheitsmatrix bedeutet.
Setzt man dann S'P S = Px, so ist QuxPi eine symmetrische Matrix,
d.h. die der Familie äquivalenter Matrizenpaare zugeordnete Klasse
enthält eine reelle symmetrische Matrix; ihre Jordan sehe Normal-
form ist daher nach einem bekannten Satze ein Diagonalsystem, es
treten in ihr nur Felder der Form ^hl auf, und das gleiche gilt nach
Satz II von den Matrizen iß, D, d. h. es ist D =<_) E, iß ein Diagonal-
system mit reellen Elementen, und man hat hier ein bekanntes
1) Vgl. die zusammenfassende Darstellung in P. Muth, Theorie und An¬
wendung der Elementarteiler. Leipzig 1899. S. 122 und S. 184.
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so folgt umgekehrt
(15) M = a P—<5 Q, N = ß P—y Q, | Q | =ß 0-
Transformiert man nun simultan P, Q in ihre Normalformen iß, D,
so gehen die Matrizen M, N in gewisse Normalformen
(16) 997 = aiß—<5D, 97 = ß$—y&
über. Offenbar zerfallen die Matrizen 97 in Länder und Felder
997 hk bzw. 97 hk in gleicher Weise wie iß, D, und falls man noch
(17) «Ah —<5 = ah, ^Ah—y =bh
setzt, so ist
0
ah
ah a
0
b h
bh ß
(18) 997hk =
ah
0
bh
0
ah a
J3h ß
Damit hat man dann die bekannten Weierstrass sehen
Normalformen1 *) der Matrizen, welche zu den Grund-
formen einer beliebigen regulären Schar quadratischer
Formen gehören.
Man könnte nun, von den Normalformen 997, 97 ausgehend, die
Theorie der Elementarteiler der Formenschar C entwickeln, die
ja bei Weierstrass den Ausgangspunkt seiner Untersuchungen
und das charakteristische Hilfsmittel bildet.
5. Ist eine Formenschar reell und enthält eine definite Form
von nicht verschwindender Determinante, so wird man deren Ma-
trix Q als eine der beiden reellen Grundformen P, Q wählen. Da
sich nun die definite Form kogredient in die Summe von n Qua-
draten transformieren läßt, so existiert eine reelle reguläre Matrix
S so, daß Qi = S' Q S = (±} E ist, wenn E die Einheitsmatrix bedeutet.
Setzt man dann S'P S = Px, so ist QuxPi eine symmetrische Matrix,
d.h. die der Familie äquivalenter Matrizenpaare zugeordnete Klasse
enthält eine reelle symmetrische Matrix; ihre Jordan sehe Normal-
form ist daher nach einem bekannten Satze ein Diagonalsystem, es
treten in ihr nur Felder der Form ^hl auf, und das gleiche gilt nach
Satz II von den Matrizen iß, D, d. h. es ist D =<_) E, iß ein Diagonal-
system mit reellen Elementen, und man hat hier ein bekanntes
1) Vgl. die zusammenfassende Darstellung in P. Muth, Theorie und An¬
wendung der Elementarteiler. Leipzig 1899. S. 122 und S. 184.