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https://doi.org/10.11588/diglit.43635#0006
6
R. Mehmke:
(b — c) = L, (c — a) — M, (a — b) = N
liegt, also mit ihrem Schnittpunkt m zusammenfällt. Es besteht
folglich zwischen 5, h und m eine lineare Beziehung, die wir etwa
OS = h + yUUi
schreiben können. Wie sie zeigt, liegen Schwerpunkt 5, Scheinhöhen-
Schnittpunkt h und Mittelpunkt m des Umkreises in einer Geraden 6).
Hier haben wir also das gesuchte hyperbolische Gegenstück zum
EWerschen Dreieckssatz der euklidischen Geometrie.
5. Den gewöhnlichen Raum überspringend, wollen wir die
vorhergehenden Untersuchungen ohne weiteres auf einen Raum von
beliebig vielen Dimensionen ausdehnen. Seien in einem Raum von
(n — 1) Dimensionen a2. . . ., an die Ecken eines in keinem Raum
von weniger Dimensionen enthaltenen Simplex. Bezeichnen i
und k irgend zwei verschiedene der Indizes 1 bis zz, so stellt
{ai-—— Pijfc den ebenen Raum von (n—2) Dimensionen vor,
der den inneren Mittelpunkt (cq + ak) der Kante a.fij. enthält und
auf ihr senkrecht steht. Nach Weglassen der Ecken ai und ak mögen
die übrigen Ecken den Schwerpunkt sik ergeben:
ffik Sik = «1 + a2 + • • • + ai-l + ai+1 + • • • ^k-l + ak+i + • • • + an-
Mit x als veränderlichem Punkt setzen wir die Gleichung an
(1) <PikW = ^iksik — | (ai — ak> = °-
Um Weitläufigkeit zu vermeiden, wollen wir uns auf hyperbolische
Geometrie und auf Punkte innerhalb des absoluten Gebildes be-
schränken. Gleichung (1) — man könnte sie homogen in bezug auf x
machen durch Hinzufügen des Faktors + ]/x \x im ersten Glied
der ersten Klammer — stellt, wie leicht zu sehen, ein Abstands-
gebilde FU zu Pa vor, nämlich einen (quadratischen) Raum von
(n—2) Dimensionen, dessen Punkte alle denselben Abstand von
dem ebenen Raum Pa haben; überdies enthält offenbar pa den
Punkt sik. Führt man den Schwerpunkt s der sämtlichen Ecken
ein und nennt u seinen Zahlwert:
(75 = + • • • + ani
so geht obige Gleichung über in
(1') <pik(x) = — ak — x) (ai — a^-^0.
6) In der elliptischen Geometrie werden die beiden Punkte h1 und h2
(s. Anm. 5) mit s und m in einer Geraden liegen. Statt obiger Zahl u treten
dann zwei Zahlen Ul und (W2 auf, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung,
die leicht aufgestellt werden könnte.
R. Mehmke:
(b — c) = L, (c — a) — M, (a — b) = N
liegt, also mit ihrem Schnittpunkt m zusammenfällt. Es besteht
folglich zwischen 5, h und m eine lineare Beziehung, die wir etwa
OS = h + yUUi
schreiben können. Wie sie zeigt, liegen Schwerpunkt 5, Scheinhöhen-
Schnittpunkt h und Mittelpunkt m des Umkreises in einer Geraden 6).
Hier haben wir also das gesuchte hyperbolische Gegenstück zum
EWerschen Dreieckssatz der euklidischen Geometrie.
5. Den gewöhnlichen Raum überspringend, wollen wir die
vorhergehenden Untersuchungen ohne weiteres auf einen Raum von
beliebig vielen Dimensionen ausdehnen. Seien in einem Raum von
(n — 1) Dimensionen a2. . . ., an die Ecken eines in keinem Raum
von weniger Dimensionen enthaltenen Simplex. Bezeichnen i
und k irgend zwei verschiedene der Indizes 1 bis zz, so stellt
{ai-—— Pijfc den ebenen Raum von (n—2) Dimensionen vor,
der den inneren Mittelpunkt (cq + ak) der Kante a.fij. enthält und
auf ihr senkrecht steht. Nach Weglassen der Ecken ai und ak mögen
die übrigen Ecken den Schwerpunkt sik ergeben:
ffik Sik = «1 + a2 + • • • + ai-l + ai+1 + • • • ^k-l + ak+i + • • • + an-
Mit x als veränderlichem Punkt setzen wir die Gleichung an
(1) <PikW = ^iksik — | (ai — ak> = °-
Um Weitläufigkeit zu vermeiden, wollen wir uns auf hyperbolische
Geometrie und auf Punkte innerhalb des absoluten Gebildes be-
schränken. Gleichung (1) — man könnte sie homogen in bezug auf x
machen durch Hinzufügen des Faktors + ]/x \x im ersten Glied
der ersten Klammer — stellt, wie leicht zu sehen, ein Abstands-
gebilde FU zu Pa vor, nämlich einen (quadratischen) Raum von
(n—2) Dimensionen, dessen Punkte alle denselben Abstand von
dem ebenen Raum Pa haben; überdies enthält offenbar pa den
Punkt sik. Führt man den Schwerpunkt s der sämtlichen Ecken
ein und nennt u seinen Zahlwert:
(75 = + • • • + ani
so geht obige Gleichung über in
(1') <pik(x) = — ak — x) (ai — a^-^0.
6) In der elliptischen Geometrie werden die beiden Punkte h1 und h2
(s. Anm. 5) mit s und m in einer Geraden liegen. Statt obiger Zahl u treten
dann zwei Zahlen Ul und (W2 auf, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung,
die leicht aufgestellt werden könnte.