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https://doi.org/10.11588/diglit.43635#0007
Über ein Gegenstück zum Eulerschen Satz vom ebenen Dreieck
7
Greift man von clen n(n — l)/2 Kanten aiak irgend welche n heraus,
aber so, daß jede mit der vorhergehenden zusammenstößt und die
letzte wieder mit der ersten, so geben augenscheinlich die zugehörigen
Funktionen <pijfc(x) die Summe Null. Wenn also der Punkt x irgend
(« — 1) jener Gleichungen befriedigt, so genügt er auch der letzten,
oder der Schnittpunkt x von (n— 1) der fraglichen Räume Pijfc
gehört auch dem n-ten an. (Im Falle n = 4 müßte man durch den
Mittelpunkt einer jeden Kante die Abstandsfläche zur Mittellot-
ebene der Gegenkante legen, und alle so erhaltenen sechs Ab-
standsflächen hätten einen gemeinsamen Punkt; er bildete das
hyperbolische Gegenstück zum Punkt von Monge.)
Eine Zwischenbemerkung: Die durch irgend eine Ecke des
n-Ecks gezogene Abstandslinie zum Mittellot der (n — 1) übrigen
Ecken (d. h. dem geometrischen Ort der Punkte, die von den letzteren
Ecken gleichweit abstehen), kann eine Scheinhöhe genannt werden.
Im allgemeinen schneiden sich die n Scheinhöhen des n-Ecks nicht,
so wenig wie im Fall n = 4 schon in der euklidischen Geometrie die
Höhen eines Tetraeders. Ist aber ein ,,Scheinhöhen-Schnittpunkt“
vorhanden, so fällt er, wie leicht zu beweisen wäre, mit dem vorhin
erhaltenen Punkt x, dem „Abstandspunkt“ des n-Ecks zusammen.
Bezeichnet ferner m den Mittelpunkt des um das gegebene
n-Eck beschriebenen kugelähnlichen Raumes von (n—2) Dimen-
sionen, so ist, weil m von je zwei Ecken und «/denselben Abstand
besitzt:
(2) («i + ak — m) j («i — «/ = 0.
Die Gleichung (1') und (2) geben addiert
(3) (gs ■— x — m) t (ai -— ak) — 0.
Dieselben Schlüsse, die unter 4. im Falle n = 3 angewendet wurden,
führen zu dem Ergebnis, daß zwischen s, x und m eine lineare Be-
ziehung der Form
gs = x + /j,m
herrscht. Es liegen also der Schwerpunkt s, der Mittelpunkt m der
(n —^-dimensionalen ^UmkugeV' und der Abstandspunkt x in einer
Geraden. Dies das n-dimensionale hyperbolische Gegenstück zum
EWerschen Satz.
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Greift man von clen n(n — l)/2 Kanten aiak irgend welche n heraus,
aber so, daß jede mit der vorhergehenden zusammenstößt und die
letzte wieder mit der ersten, so geben augenscheinlich die zugehörigen
Funktionen <pijfc(x) die Summe Null. Wenn also der Punkt x irgend
(« — 1) jener Gleichungen befriedigt, so genügt er auch der letzten,
oder der Schnittpunkt x von (n— 1) der fraglichen Räume Pijfc
gehört auch dem n-ten an. (Im Falle n = 4 müßte man durch den
Mittelpunkt einer jeden Kante die Abstandsfläche zur Mittellot-
ebene der Gegenkante legen, und alle so erhaltenen sechs Ab-
standsflächen hätten einen gemeinsamen Punkt; er bildete das
hyperbolische Gegenstück zum Punkt von Monge.)
Eine Zwischenbemerkung: Die durch irgend eine Ecke des
n-Ecks gezogene Abstandslinie zum Mittellot der (n — 1) übrigen
Ecken (d. h. dem geometrischen Ort der Punkte, die von den letzteren
Ecken gleichweit abstehen), kann eine Scheinhöhe genannt werden.
Im allgemeinen schneiden sich die n Scheinhöhen des n-Ecks nicht,
so wenig wie im Fall n = 4 schon in der euklidischen Geometrie die
Höhen eines Tetraeders. Ist aber ein ,,Scheinhöhen-Schnittpunkt“
vorhanden, so fällt er, wie leicht zu beweisen wäre, mit dem vorhin
erhaltenen Punkt x, dem „Abstandspunkt“ des n-Ecks zusammen.
Bezeichnet ferner m den Mittelpunkt des um das gegebene
n-Eck beschriebenen kugelähnlichen Raumes von (n—2) Dimen-
sionen, so ist, weil m von je zwei Ecken und «/denselben Abstand
besitzt:
(2) («i + ak — m) j («i — «/ = 0.
Die Gleichung (1') und (2) geben addiert
(3) (gs ■— x — m) t (ai -— ak) — 0.
Dieselben Schlüsse, die unter 4. im Falle n = 3 angewendet wurden,
führen zu dem Ergebnis, daß zwischen s, x und m eine lineare Be-
ziehung der Form
gs = x + /j,m
herrscht. Es liegen also der Schwerpunkt s, der Mittelpunkt m der
(n —^-dimensionalen ^UmkugeV' und der Abstandspunkt x in einer
Geraden. Dies das n-dimensionale hyperbolische Gegenstück zum
EWerschen Satz.