DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43631#0003
In der vorliegenden Note bringen wir ein Verfahren zur Er-
zeugung solcher Parameterkurven der Form
z = y -
für ein Intervall tr t i2, welche in keinem Punkt weder eine
vordere noch eine hintere Halbtangente besitzen. Diese Kurven sind
dadurch charakterisiert, daß keiner (weder endlicher noch eigent-
licher unendlicher) der Grenzwerte
Um yG + M-yffl bzw. Iim W ~ V -
ä—>o h) — <p(t) h-^o <P\t h) cp(t)
für positives gegen 0 konvergierendes h existiert.
Die Frage nach solchen Kurven dürfte auch deshalb inter-
essieren, weil die entsprechenden, lange unentdeckt gebliebenen
eindeutigen Funktionen einer Veränderlichen ohne einseitige Ab-
leitungen von einer weniger einfachen Natur sind. Dies gilt für das
erste von Herrn Besicovitch gefundene Beispiel 1) solcher Funk-
tionen. Dementsprechend ist auch der Beweis der Nichtexistenz
der einseitigen Ableitungen der Funktion von Besicovitch mit
einer wohl in der Natur der Sache begründeten Kompliziertheit
verbunden. — Wesentlich günstiger und einfacher ist der ent-
sprechende Sachverhalt bei Parameterkurven 2). Das nachfolgende
1) Bulletin de l’Academie des Sciences de Russie (1925), S. 527. Vgl.
auch die Abhandlung von E. D. Pepper in Fundamenta Mathematicae, B. XII,
S. 244—253. — Es sei noch erwähnt, daß die fehlende Ausführlichkeit der
Beweise der Nichtexistenz der einseitigen Ableitungen in diesen Abhandlungen
zu einer Kritik und zu Zweifeln an der Richtigkeit des Besicovitchschen
Beispiels geführt hat, welche uns aber als unbegründet erscheinen. [Vgl. A. N.
Singh, Some Remarks Concerning a Result of Besicovitch, Bulletin of the
Calcutta Mathematical Society, Vol. XX, S. 239—244 (1928—29)].
2) Bei bisherigen Betrachtungen der Parameterkurven ohne Tangenten
wurde die grundsätzliche Frage nach der Existenz der Halbtangenten unseres
Wissens nicht berücksichtigt. Es ist deshalb besonders erwähnenswert, daß
auch die bekannte durch Helge von Koch konstruierte spezielle Kurve eben-
falls keine Halbtangenten besitzt, ohne daß dies bis jetzt hervorgehoben wurde.
Insbesondere ermöglicht die Konstruktion dieser Kurve von Herrn Knopp
(Arch. d. Mathematik und Physik, 26. Bd., S. 103—109) einen sehr einfachen
Beweis der Nichtexistenz der Halbtangenten.
r
zeugung solcher Parameterkurven der Form
z = y -
für ein Intervall tr t i2, welche in keinem Punkt weder eine
vordere noch eine hintere Halbtangente besitzen. Diese Kurven sind
dadurch charakterisiert, daß keiner (weder endlicher noch eigent-
licher unendlicher) der Grenzwerte
Um yG + M-yffl bzw. Iim W ~ V -
ä—>o h) — <p(t) h-^o <P\t h) cp(t)
für positives gegen 0 konvergierendes h existiert.
Die Frage nach solchen Kurven dürfte auch deshalb inter-
essieren, weil die entsprechenden, lange unentdeckt gebliebenen
eindeutigen Funktionen einer Veränderlichen ohne einseitige Ab-
leitungen von einer weniger einfachen Natur sind. Dies gilt für das
erste von Herrn Besicovitch gefundene Beispiel 1) solcher Funk-
tionen. Dementsprechend ist auch der Beweis der Nichtexistenz
der einseitigen Ableitungen der Funktion von Besicovitch mit
einer wohl in der Natur der Sache begründeten Kompliziertheit
verbunden. — Wesentlich günstiger und einfacher ist der ent-
sprechende Sachverhalt bei Parameterkurven 2). Das nachfolgende
1) Bulletin de l’Academie des Sciences de Russie (1925), S. 527. Vgl.
auch die Abhandlung von E. D. Pepper in Fundamenta Mathematicae, B. XII,
S. 244—253. — Es sei noch erwähnt, daß die fehlende Ausführlichkeit der
Beweise der Nichtexistenz der einseitigen Ableitungen in diesen Abhandlungen
zu einer Kritik und zu Zweifeln an der Richtigkeit des Besicovitchschen
Beispiels geführt hat, welche uns aber als unbegründet erscheinen. [Vgl. A. N.
Singh, Some Remarks Concerning a Result of Besicovitch, Bulletin of the
Calcutta Mathematical Society, Vol. XX, S. 239—244 (1928—29)].
2) Bei bisherigen Betrachtungen der Parameterkurven ohne Tangenten
wurde die grundsätzliche Frage nach der Existenz der Halbtangenten unseres
Wissens nicht berücksichtigt. Es ist deshalb besonders erwähnenswert, daß
auch die bekannte durch Helge von Koch konstruierte spezielle Kurve eben-
falls keine Halbtangenten besitzt, ohne daß dies bis jetzt hervorgehoben wurde.
Insbesondere ermöglicht die Konstruktion dieser Kurve von Herrn Knopp
(Arch. d. Mathematik und Physik, 26. Bd., S. 103—109) einen sehr einfachen
Beweis der Nichtexistenz der Halbtangenten.
r