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https://doi.org/10.11588/diglit.43631#0004
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Boris Kaufmann:
Konstruktionsverfahren zeichnet sich durch besondere. Durch-
sichtigkeit und Anschaulichkeit aus. Insbesondere läßt sich auch
der Beweis der Nichtexistenz der Halbtangenten klar und nach
einem einheitlichen Prinzip durchführen.
1. Eingeschriebene Polygonzüge und die Projektionsbedingung.
Es sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite AB
und dem Basiswinkel y. CM sei das Lot aus C auf AB.
^1? ^2? ■ ■ A n, ■ ■ ■ sei eine gegen A konvergierende Folge ver-
schiedener Punkte auf MA, wobei An zwischen A und Aw_x liegen
möge. Entsprechend sei Af, A'2, . . ., A'n, . . . auf CA eine gegen A
konvergierende Folge verschiedener Punkte, ebenfalls so geordnet,
daß A^ zwischen A und A'n_1 liegt. Durch Vereinigung der
Strecken CAX, A-]A{, A^A2, A2A2, . . . bilden wir einen gebrochenen
Polygonzug Ac.a- Ganz entsprechend definieren wir im Dreieck
BMC einen Polygonzug Ac.b- Die Vereinigung A der beiden Poly-
gonzüge Ac,a und AC'B nennen wir einen dem Dreieck ABC ein-
geschriebenen Polygonzug.
Die Helge von KocH’sche Kurve läßt sich als das Grenzkontinuum einer
Folge von Dreiecksketten auffassen; der Übergang von einer jeden Dreiecks-
kette zu der nächstfolgenden geschieht durch Zerlegung eines jeden Dreiecks
der Kette in drei Teildreiecke, von welchen zwei gleichschenklig und kon-
gruent sind und den Basiswinkel v haben. Die Nichtexistenz der Halbtangenten
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an den (abzählbar vielen) Kurvenpunkten, welche Eckpunkte der Dreiecke
einer beliebigen Kette sind, läßt sich leicht einsehen. Den überwiegenden Teil
der Kurvenpunkte bilden aber die sonstigen Durchschnittspunkte unendlich
vieler ineinandergeschachtelter Dreiecke fortschreitender Dreieckszerlegungen.
Versehen wir eine jede Dreieckskette mit einem bestimmten Umlaufssinn, so
können wir (dem Umlaufssinn entsprechend) bei jeder Dreieckszerlegung das
eine der beiden kongruenten Teildreiecke als das vordere und das andere als
das hintere Teildreieck bezeichnen. Es ist nun sehr wesentlich, daß die Durch-
schnittspunkte unendlich vieler ineinandergeschachtelter Dreiecke, welche keine
Eckpunkte der Dreiecke sind, niemals nur in den vorderen oder nur in den
hinteren Dreiecken liegen können. Dies ermöglicht uns den Nachweis der
Nichtexistenz der Halbtangenten in jedem solchen Kurvenpunkt P. Bei fest-
gehaltenem Umlaufssinn können wir also P gleichzeitig als einen Durchschnitts-
punkt je einer Folge vorderer und hinterer Teildreiecke auffassen. Die Nicht-
existenz der hinteren Halbtangenten in P ergibt sich, wenn wir P als den Grenz-
punkt ineinandergeschachtelter vorderer Teildreiecke auffassen und ihn (für jedes
dieser Dreiecke) jeweils mit den Eckpunkten des anstoßenden kongruenten
hinteren Teildreiecks verbinden. Diese Verbindungslinien liegen auf Sekanten
der Kurve, welche keine feste Grenzlage besitzen. — Ganz entsprechend läßt
sich auch die Nichtexistenz der vorderen Halbtangente in P nachweisen.
Boris Kaufmann:
Konstruktionsverfahren zeichnet sich durch besondere. Durch-
sichtigkeit und Anschaulichkeit aus. Insbesondere läßt sich auch
der Beweis der Nichtexistenz der Halbtangenten klar und nach
einem einheitlichen Prinzip durchführen.
1. Eingeschriebene Polygonzüge und die Projektionsbedingung.
Es sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite AB
und dem Basiswinkel y. CM sei das Lot aus C auf AB.
^1? ^2? ■ ■ A n, ■ ■ ■ sei eine gegen A konvergierende Folge ver-
schiedener Punkte auf MA, wobei An zwischen A und Aw_x liegen
möge. Entsprechend sei Af, A'2, . . ., A'n, . . . auf CA eine gegen A
konvergierende Folge verschiedener Punkte, ebenfalls so geordnet,
daß A^ zwischen A und A'n_1 liegt. Durch Vereinigung der
Strecken CAX, A-]A{, A^A2, A2A2, . . . bilden wir einen gebrochenen
Polygonzug Ac.a- Ganz entsprechend definieren wir im Dreieck
BMC einen Polygonzug Ac.b- Die Vereinigung A der beiden Poly-
gonzüge Ac,a und AC'B nennen wir einen dem Dreieck ABC ein-
geschriebenen Polygonzug.
Die Helge von KocH’sche Kurve läßt sich als das Grenzkontinuum einer
Folge von Dreiecksketten auffassen; der Übergang von einer jeden Dreiecks-
kette zu der nächstfolgenden geschieht durch Zerlegung eines jeden Dreiecks
der Kette in drei Teildreiecke, von welchen zwei gleichschenklig und kon-
gruent sind und den Basiswinkel v haben. Die Nichtexistenz der Halbtangenten
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an den (abzählbar vielen) Kurvenpunkten, welche Eckpunkte der Dreiecke
einer beliebigen Kette sind, läßt sich leicht einsehen. Den überwiegenden Teil
der Kurvenpunkte bilden aber die sonstigen Durchschnittspunkte unendlich
vieler ineinandergeschachtelter Dreiecke fortschreitender Dreieckszerlegungen.
Versehen wir eine jede Dreieckskette mit einem bestimmten Umlaufssinn, so
können wir (dem Umlaufssinn entsprechend) bei jeder Dreieckszerlegung das
eine der beiden kongruenten Teildreiecke als das vordere und das andere als
das hintere Teildreieck bezeichnen. Es ist nun sehr wesentlich, daß die Durch-
schnittspunkte unendlich vieler ineinandergeschachtelter Dreiecke, welche keine
Eckpunkte der Dreiecke sind, niemals nur in den vorderen oder nur in den
hinteren Dreiecken liegen können. Dies ermöglicht uns den Nachweis der
Nichtexistenz der Halbtangenten in jedem solchen Kurvenpunkt P. Bei fest-
gehaltenem Umlaufssinn können wir also P gleichzeitig als einen Durchschnitts-
punkt je einer Folge vorderer und hinterer Teildreiecke auffassen. Die Nicht-
existenz der hinteren Halbtangenten in P ergibt sich, wenn wir P als den Grenz-
punkt ineinandergeschachtelter vorderer Teildreiecke auffassen und ihn (für jedes
dieser Dreiecke) jeweils mit den Eckpunkten des anstoßenden kongruenten
hinteren Teildreiecks verbinden. Diese Verbindungslinien liegen auf Sekanten
der Kurve, welche keine feste Grenzlage besitzen. — Ganz entsprechend läßt
sich auch die Nichtexistenz der vorderen Halbtangente in P nachweisen.