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https://doi.org/10.11588/diglit.43631#0007
Parameterkurven ohne Halbtangenten
7
Kettendreieck 1.0. sei wiederum ein eingeschriebener Polygonzug
mit dem Reflexionswinkel & gegeben. Ein solcher Polygonzug sei
ebenfalls von „1. Ordnung“ genannt. Jede Strecke r eines jeden
Polygonzuges 1.0. wählen wir zur Grundseite eines gleichschenk-
ligen Dreiecks (innerhalb des Winkelraumes #) mit dem Basis-
winkel y. Ein jedes solche Dreieck nennen wir ein ,,Kettendreieck
2. Ordnung“ und bestimmen in diesem einen eingeschriebenen
Polygonzug 2. Ordnung mit dem Reflexionswinkel # u. s. f. Auf
solche Weise werden sämtliche Kettendreiecke n-ter Ordnung
(u = 1, 2, . . .) und die entsprechenden eingeschriebenen Polygon-
züge n-ter Ordnung definiert.
Die Vereinigung sämtlicher eingeschriebener Polygonzüge einer
jeden festen Ordnung n ist ein einfacher Kurvenbogen. Die Folge
dieser Kurvenbögen für wachsende n konvergiert, wie leicht er-
sichtlich, gegen eine einfache Kurve L. Wir werden uns im nach-
folgenden überzeugen, daß L keine Halbtangenten hat.
3. Beweis cler Nichtexistenz der Halbtangenten. In bezug auf
jeden von den Endpunkten A und B verschiedenen Punkt P der
Kurve L bezeichnen wir den Bogen LAP als den „hinteren“ und
den Bogen LPB als den „vorderen“ Teil der Kurve.
Ist P Eckpunkt eines Kettendreiecks ön n-ter Ordnung, so ist
das Fehlen der beiden Halbtangenten in P unmittelbar ersichtlich.
Da die Eckpunkte eines jeden eingeschriebenen Polygonzuges auf
L liegen, so trifft einer der beiden Kurvenstücke LAP und LPB
die beiden in P sich schneidenden Seiten des Dreiecks ön in einer
noch so kleinen Umgebung von P. Darnach ist eine jede in dem
durch den Basiswinkel y von ön bestimmten Winkelraum liegende
Halbgerade mit dem Eckpunkt in P eine Grenzsekante in bezug
auf das betreffende Kurvenstück. Dasselbe gilt natürlich auch
für das zu ön benachbarte Kettendreieck n-ter Ordnung und das
zweite in P anstoßende Kurvenstück.
Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall, in dem P Grenz-
punkt einer Folge
Vö2, . . ., V, . . .
ineinandergeschachtelter Kettendreiecke wachsender Ordnung ist.
Mit An bezeichnen wir den ön eingeschriebenen Polygonzug
n-ter Ordnung. Die Grundseite ÄnBn des Dreiecks ön+1 liegt offenbar
auf An. BnCn und CnDn seien die beiden zu AnBn benachbarten
Strecken von An, deren Eckpunkte Bn, Cn und D" auf derselben
Seite der Kurve L in bezug auf P liegen. Es ist dabei gleichgültig,
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Kettendreieck 1.0. sei wiederum ein eingeschriebener Polygonzug
mit dem Reflexionswinkel & gegeben. Ein solcher Polygonzug sei
ebenfalls von „1. Ordnung“ genannt. Jede Strecke r eines jeden
Polygonzuges 1.0. wählen wir zur Grundseite eines gleichschenk-
ligen Dreiecks (innerhalb des Winkelraumes #) mit dem Basis-
winkel y. Ein jedes solche Dreieck nennen wir ein ,,Kettendreieck
2. Ordnung“ und bestimmen in diesem einen eingeschriebenen
Polygonzug 2. Ordnung mit dem Reflexionswinkel # u. s. f. Auf
solche Weise werden sämtliche Kettendreiecke n-ter Ordnung
(u = 1, 2, . . .) und die entsprechenden eingeschriebenen Polygon-
züge n-ter Ordnung definiert.
Die Vereinigung sämtlicher eingeschriebener Polygonzüge einer
jeden festen Ordnung n ist ein einfacher Kurvenbogen. Die Folge
dieser Kurvenbögen für wachsende n konvergiert, wie leicht er-
sichtlich, gegen eine einfache Kurve L. Wir werden uns im nach-
folgenden überzeugen, daß L keine Halbtangenten hat.
3. Beweis cler Nichtexistenz der Halbtangenten. In bezug auf
jeden von den Endpunkten A und B verschiedenen Punkt P der
Kurve L bezeichnen wir den Bogen LAP als den „hinteren“ und
den Bogen LPB als den „vorderen“ Teil der Kurve.
Ist P Eckpunkt eines Kettendreiecks ön n-ter Ordnung, so ist
das Fehlen der beiden Halbtangenten in P unmittelbar ersichtlich.
Da die Eckpunkte eines jeden eingeschriebenen Polygonzuges auf
L liegen, so trifft einer der beiden Kurvenstücke LAP und LPB
die beiden in P sich schneidenden Seiten des Dreiecks ön in einer
noch so kleinen Umgebung von P. Darnach ist eine jede in dem
durch den Basiswinkel y von ön bestimmten Winkelraum liegende
Halbgerade mit dem Eckpunkt in P eine Grenzsekante in bezug
auf das betreffende Kurvenstück. Dasselbe gilt natürlich auch
für das zu ön benachbarte Kettendreieck n-ter Ordnung und das
zweite in P anstoßende Kurvenstück.
Wir betrachten jetzt den allgemeinen Fall, in dem P Grenz-
punkt einer Folge
Vö2, . . ., V, . . .
ineinandergeschachtelter Kettendreiecke wachsender Ordnung ist.
Mit An bezeichnen wir den ön eingeschriebenen Polygonzug
n-ter Ordnung. Die Grundseite ÄnBn des Dreiecks ön+1 liegt offenbar
auf An. BnCn und CnDn seien die beiden zu AnBn benachbarten
Strecken von An, deren Eckpunkte Bn, Cn und D" auf derselben
Seite der Kurve L in bezug auf P liegen. Es ist dabei gleichgültig,