Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.

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gebraischen Zahlen eines endlichen Zahlkörpers, in dem jedes Ideal
das eindeutige Produkt von Potenzen endlich vieler paarweise
teilerfremder Primideale, aber nicht notwendig Hauptideal ist.
St bezeichnet je nach dem Zusammenhang den Quotientenkörper
von 91 oder von SS. — Für den gr. g. T. (größten gemeinschaftlichen
Teiler) von a und b schreiben wir (a, b). (a) bedeutet das durch das
Element a erzeugte Hauptideal, (ax, a2, . . . den gr. g. T. der
Hauptideale (aj (i = 1, 2 ■ • • ri). Die Elemente a2, . . . an bilden
eine ,,Basis“ des Ideals (aly a2, . . . an) im Sinne der allgemeinen
Idealtheorie; nach einem bekannten Satze besitzt in SS jedes Ideal
eine zweigliedrige Basis: a = (ax, a2).
Zwei Ideale a und b aus SS werden wie üblich in die gleiche
Klasse K gerechnet, wenn a durch Multiplikation mit einem Element2)
aus dem Quotientenkörper St in b verwandelt werden kann:
b = y • a, d. h. a = («j, tz2, . . . a„), b = (y • ax, y • a2, • • • 7 • an). Ko
bedeutet die Hauptklasse d. h. die Klasse der Hauptideale. Wir
arbeiten mit der Klassenmultiplikation und mit dem Satz, daß es
in jeder Klasse zwei Ideale gibt, die einen vorgeschriebenen gr. g. T. b
haben.
Eine andere, wichtige aber weniger bekannte Begriffsbildung
soll noch ausführlich besprochen werden 3). Unter SSa soll der Bing
aller derjenigen Elemente aus $ verstanden werden, die sich als
Quotienten von Elementen aus SS mit zum Ideal a teilerfremdem
Nenner darstellen lassen. Ordnen wir jedem Ideal ca aus SSa das
,,Verengungsideal“ crt^S34) = c aus SS zu, so gelten die folgenden
Sätze: 1. ca ist durch das Verengungsideal c eindeutig bestimmt,
denn es ist stets ca = c • SSa. 2. Sind c und b die Verengungsideale
von cn und ba, so ist (c, b) bzw. c • b das Verengungsideal von (ca, ba)
bzw. ca • ba. 3. c aus SS ist dann und nur dann Verengungsideal eines
c0, wenn c nur solche Primidealteiler besitzt, die auch in a aufgehen. —
Nach 1, 2, 3 wird durch die Zuordnung von ca und c = cn^SS der
Bereich aller Ideale aus SSa eindeutig umkehrbar und hinsichtlich
der Teilbarkeitsverhältnisse und der Produktbildung isomorph auf
2) Lateinische Buchstaben bedeuten stets Ringelemente, griechische
dagegen beliebige Körperelemente.
3) Vgl. H. Grell, Ordnungen in Zahl- und Funktionenkörpern, Math.
Annalen 27 (1927) § 2. — Im übrigen kann man sich die Verhältnisse völlig
klar machen, wenn man nebeneinander betrachtet den Ring aller ganzen Zahlen
und den Ring aller der rationalen Zahlen, bei denen der Nenner zu einer festen
Zahl a teilerfremd ist.
4) bedeutet den mengentheoretischen Durchschnitt.