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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0037
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
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weil eine Restklasse aus 99U/997, die durch ein Element von 97 reprä-
sentiert werden kann, wegen 9? ^997 = 97 ^99? ?= (0) immer genau
ein Element aus 97 enthält.
Durch Satz 21 ist die Frage nach dem Bau einer Gruppe 91
mit O-Satz befriedigend beantwortet; denn in § 10 wurde gezeigt,
daß die endlichen Restgruppen genau so wie die gewöhnlichen
endlichen AßELschen Gruppen behandelt werden können und in § 9
wurde eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Iso-
morphie von Grundmodulgruppen aufgestellt. Was genauere Sätze
über die Zerlegungsmöglichkeiten einer Grundmodulgruppe angeht,
so sei auf Steinitz verwiesen 27). Hier soll nur noch eine für die
allgemeine Gruppentheorie wichtige Bemerkung hervorgehoben
werden.
Eine (verallgemeinerte AßELSche) Gruppe heißt direkt unzer-
legbar, wenn sie nicht als direkte Summe echter Untergruppen
darstellbar ist. Eine Gruppe, in der der O-Satz gilt, läßt sich stets
in endlich viele direkt unzerlegbare direkte Summanden zerlegen.
Unter dem ,,Isomorphiesatz der direkten Zerlegung“ soll nun das
folgende Theorem verstanden werden: Sind 91 = 93x Ä • • • 93s
= -j- ’ ’ ' + zwei Zerlegungen derselben Gruppe 91 in direkt
unzerlegbare Summanden, so ist s' = s und es sind bei geeigneter
Numerierung 93£ und 93- (i = 1, . . . s) isomorph. Der Isomorphie-
satz der direkten Zerlegung ist in allen den Gruppen richtig, in
denen der D-Satz gilt. Er bleibt auch noch richtig, wenn wir nur
die Gültigkeit des O-Satzes oder U-Satzes allein fordern, uns aber
gleichzeitig auf Gruppen beschränken, die einen Hauptidealring
zum Multiplikatorenbereich besitzen 28). Dagegen ergibt sich leicht
aus den Untersuchungen von § 9:
Satz 22. Für Grundmodulgruppen., deren Multiplikatorenbereich
kein Hauptidealring ist, gilt der Isomorphiesatz der direkten Zerlegung
nicht. Der Isomorphiesatz ist also vom O-Satz allein im axiomatischen
Sinne unabhängig.
In der Tat, es sei 937* = (xx, x2), 99? sei ein einrangiger Unter-
grundmodul von 991*, dessen Klasse von KQ verschieden ist, 97 sei
ein (nach Satz 17 sicher vorhandener) komplementärer Grundmodul
27) Vgl. insbesondere: St. II Nr. 64.
28) Was die Gruppen mit O-Satz angeht, so sei auf v. d. W. II § 107
verwiesen. Für die Gruppen mit U-Satz vgl. die in Anm. lb) zitierte Arbeit
von A. Kurosch, S. 110 Satz II.
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weil eine Restklasse aus 99U/997, die durch ein Element von 97 reprä-
sentiert werden kann, wegen 9? ^997 = 97 ^99? ?= (0) immer genau
ein Element aus 97 enthält.
Durch Satz 21 ist die Frage nach dem Bau einer Gruppe 91
mit O-Satz befriedigend beantwortet; denn in § 10 wurde gezeigt,
daß die endlichen Restgruppen genau so wie die gewöhnlichen
endlichen AßELschen Gruppen behandelt werden können und in § 9
wurde eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Iso-
morphie von Grundmodulgruppen aufgestellt. Was genauere Sätze
über die Zerlegungsmöglichkeiten einer Grundmodulgruppe angeht,
so sei auf Steinitz verwiesen 27). Hier soll nur noch eine für die
allgemeine Gruppentheorie wichtige Bemerkung hervorgehoben
werden.
Eine (verallgemeinerte AßELSche) Gruppe heißt direkt unzer-
legbar, wenn sie nicht als direkte Summe echter Untergruppen
darstellbar ist. Eine Gruppe, in der der O-Satz gilt, läßt sich stets
in endlich viele direkt unzerlegbare direkte Summanden zerlegen.
Unter dem ,,Isomorphiesatz der direkten Zerlegung“ soll nun das
folgende Theorem verstanden werden: Sind 91 = 93x Ä • • • 93s
= -j- ’ ’ ' + zwei Zerlegungen derselben Gruppe 91 in direkt
unzerlegbare Summanden, so ist s' = s und es sind bei geeigneter
Numerierung 93£ und 93- (i = 1, . . . s) isomorph. Der Isomorphie-
satz der direkten Zerlegung ist in allen den Gruppen richtig, in
denen der D-Satz gilt. Er bleibt auch noch richtig, wenn wir nur
die Gültigkeit des O-Satzes oder U-Satzes allein fordern, uns aber
gleichzeitig auf Gruppen beschränken, die einen Hauptidealring
zum Multiplikatorenbereich besitzen 28). Dagegen ergibt sich leicht
aus den Untersuchungen von § 9:
Satz 22. Für Grundmodulgruppen., deren Multiplikatorenbereich
kein Hauptidealring ist, gilt der Isomorphiesatz der direkten Zerlegung
nicht. Der Isomorphiesatz ist also vom O-Satz allein im axiomatischen
Sinne unabhängig.
In der Tat, es sei 937* = (xx, x2), 99? sei ein einrangiger Unter-
grundmodul von 991*, dessen Klasse von KQ verschieden ist, 97 sei
ein (nach Satz 17 sicher vorhandener) komplementärer Grundmodul
27) Vgl. insbesondere: St. II Nr. 64.
28) Was die Gruppen mit O-Satz angeht, so sei auf v. d. W. II § 107
verwiesen. Für die Gruppen mit U-Satz vgl. die in Anm. lb) zitierte Arbeit
von A. Kurosch, S. 110 Satz II.
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