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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0004
4
R. Cesarec:
also ausführlich durch die Tafel:
s
k
l
G'n
2
1
zU G'3 G'5
<Sr3 Cri Cr5
3
1
Z^O z^2 <’6
tzg Cr4 Cr5 Cr6
4
2
Gl Gl Gl
5
2
G± Gf Gg G? G| usw.
In jeder Spalte stehen alle Orthogone mit derselben Seitenanzahl.
Je zwei Zeilen k = l stellen eine Schar von Orthogonen dar, die alle
aus einem von ihnen als der Grundfigur, in der Regel aus dem G°,
durch zweierlei Spezialisierungen ableitbar sind: entweder macht
man irgendeinen Winkel zu einem Rechten oder läßt man eine
Polygonecke ideal werden. Im ersten Falle wird aus einem Grn ein
im zweiten aber ein G'^, da nun beide Seiten, die vordem in
der betreffenden Ecke zusammenliefen, durch Idealisierung hyper-
parallel werden, so daß ihr gemeinsames Lot als eine neue Polygon-
seite auftritt, zwei neue (rechte) Polygonwinkel mitbringend.
Wir wollen diese beiden Operationen als Orthogonalisation
1. bzw. 2. Art bezeichnen.
Im allgemeinen kann man sagen, daß aus einem G„ unserer
Tafel alle Vielecke ableitbar sind, die von jenem nach rechts oder
nach oben oder nach diesen beiden Richtungen zugleich liegen.
Eine Ausnahme von dieser Regel bilden gewisse Orthogone G„, für
die 1 < r < n — 1, d. h. n — r > 1, ist und in denen die rechten
Winkel in einer gewissen ungünstigen Anordnung vorliegen. Es
kann so z. B. das G% mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln
durch keine Orthogonalisation 1. oder 2. Art aus dem G3, sondern
erst etwa aus dem G\ erhalten werden. Eine andere Ausnahme
betrifft die analytische Orthogonalisation in der ersten Schar
(/c = l = 1): da ist nicht das G% sondern das G3 die Grundfigur, da
die Natur der h. E. eine naturgemäße Entwicklung der Formeln
zuerst für das G^ sodann für das G°3 gestattet.
3. Um nun an einigen Beispielen zeigen zu können, wie man
aus den Formeln für das G„ diejenigen für gewisse andere Vielecke
ableitet, müssen wir zunächst wissen, wie die Orthogonalisation
2. Art analytisch ausgeführt wird.
Wird eine Polygonecke ideal, so kommt der Winkelmaßzahl
an dieser Ecke ein imaginärer Wert zu und ebenso den Maßzahlen
beider anliegenden Seiten. Als reelle Vertreter dieser imaginären
R. Cesarec:
also ausführlich durch die Tafel:
s
k
l
G'n
2
1
zU G'3 G'5
<Sr3 Cri Cr5
3
1
Z^O z^2 <’6
tzg Cr4 Cr5 Cr6
4
2
Gl Gl Gl
5
2
G± Gf Gg G? G| usw.
In jeder Spalte stehen alle Orthogone mit derselben Seitenanzahl.
Je zwei Zeilen k = l stellen eine Schar von Orthogonen dar, die alle
aus einem von ihnen als der Grundfigur, in der Regel aus dem G°,
durch zweierlei Spezialisierungen ableitbar sind: entweder macht
man irgendeinen Winkel zu einem Rechten oder läßt man eine
Polygonecke ideal werden. Im ersten Falle wird aus einem Grn ein
im zweiten aber ein G'^, da nun beide Seiten, die vordem in
der betreffenden Ecke zusammenliefen, durch Idealisierung hyper-
parallel werden, so daß ihr gemeinsames Lot als eine neue Polygon-
seite auftritt, zwei neue (rechte) Polygonwinkel mitbringend.
Wir wollen diese beiden Operationen als Orthogonalisation
1. bzw. 2. Art bezeichnen.
Im allgemeinen kann man sagen, daß aus einem G„ unserer
Tafel alle Vielecke ableitbar sind, die von jenem nach rechts oder
nach oben oder nach diesen beiden Richtungen zugleich liegen.
Eine Ausnahme von dieser Regel bilden gewisse Orthogone G„, für
die 1 < r < n — 1, d. h. n — r > 1, ist und in denen die rechten
Winkel in einer gewissen ungünstigen Anordnung vorliegen. Es
kann so z. B. das G% mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln
durch keine Orthogonalisation 1. oder 2. Art aus dem G3, sondern
erst etwa aus dem G\ erhalten werden. Eine andere Ausnahme
betrifft die analytische Orthogonalisation in der ersten Schar
(/c = l = 1): da ist nicht das G% sondern das G3 die Grundfigur, da
die Natur der h. E. eine naturgemäße Entwicklung der Formeln
zuerst für das G^ sodann für das G°3 gestattet.
3. Um nun an einigen Beispielen zeigen zu können, wie man
aus den Formeln für das G„ diejenigen für gewisse andere Vielecke
ableitet, müssen wir zunächst wissen, wie die Orthogonalisation
2. Art analytisch ausgeführt wird.
Wird eine Polygonecke ideal, so kommt der Winkelmaßzahl
an dieser Ecke ein imaginärer Wert zu und ebenso den Maßzahlen
beider anliegenden Seiten. Als reelle Vertreter dieser imaginären