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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0011
Über die Berechnung von Orthogonen der hyperbolischen Ebene
11
Paare zugeordneter Seiten als Paare komplementärer Strecken,
zugeordnete Seiten und Winkel aber als Distanz und der zugehörige
Parallelwinkel erscheinen. Auf Grund dieser Beziehungen gelten
dann die Formeln, die für eine der beiden komplementären Figuren
gültig sind, auch für die andere.
In der ersten Zeile unserer Tafel stehen drei komplementären
Figuren; für das Paar G%, G* ist dies wohl eine allgemein bekannte
Sache 9), während für G}, G% es vielleicht weniger bekannt dennoch
völlig bewährt ist10). Auch für das Paar G£, G% hat Herr Roeser
die komplementäre Verwandschaft nachgewiesen, für das Paar
G3, Gl wollte es ihm jedoch nicht gelingen. Diesen Fall, wie auch
alle sonstigen mißlingenden Fälle, kann man jedoch beherrschen,
indem man anstatt der komplementären eine andere Verwandt-
schaft einführt, die wir vorwegnehmend als Antiorthogonali-
sation (2. Art) bezeichnen wollen. Sie besteht, wie ihr Name
genügend andeutet, einfach darin, daß man die Substitutionen der
Orthogonalisation zweiter Art in umgekehrter Reihenfolge ausführt.
So kann man z. B. die eine der drei Formeln, die für das G|(a, b, c, l,
m, n) gelten, etwa die Gleichung chl — — chmchn + shmshncha
in die Formel cos z = — cos /j, cos v + sin /z sin v cha für das
Gg(a, b, c, 2, /z, r) überführen, ein Übergang, der vom Standpunkte
der komplementären Figuren unmöglich erscheint, wie dies Herr
Roeser in der unter8) genannten Arbeit richtig hervorhebt.
Der Nutzen, welchen die Antiorthogonalisation uns leistet,
liegt auf der Hand: es genügt immer nur für ein G” die Formeln
aufzustellen, diejenigen für alle in der Tafel vorangehenden Polygone
gewinnt man dann eben mittels der genannten Operation. Die
Formeln für ein Vollorthogon findet man aber gewiß leichter als
diejenigen für das zugehörige G°, da sie einfacher und nicht so
zahlreich sind. Nachdem man so die Formeln für das betreffende
Vollorthogon aufgestellt hat, wird unsere Operation ausgeführt nach
dem Schema: Zuerst werden die Seiten und Winkel beider Vielecke
in geeigneter Weise gepaart, sodann beachtet man, welche Seiten
zweimal, nur einmal oder überhaupt nicht antiorthogonalisiert
werden um danach die bezüglichen Substitutionen berechnen zu
können.
9) Vgl. z. B. das Buch: H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 1923,
§10.
10) Vgl. die unter 8) erwähnte Arbeit.
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Paare zugeordneter Seiten als Paare komplementärer Strecken,
zugeordnete Seiten und Winkel aber als Distanz und der zugehörige
Parallelwinkel erscheinen. Auf Grund dieser Beziehungen gelten
dann die Formeln, die für eine der beiden komplementären Figuren
gültig sind, auch für die andere.
In der ersten Zeile unserer Tafel stehen drei komplementären
Figuren; für das Paar G%, G* ist dies wohl eine allgemein bekannte
Sache 9), während für G}, G% es vielleicht weniger bekannt dennoch
völlig bewährt ist10). Auch für das Paar G£, G% hat Herr Roeser
die komplementäre Verwandschaft nachgewiesen, für das Paar
G3, Gl wollte es ihm jedoch nicht gelingen. Diesen Fall, wie auch
alle sonstigen mißlingenden Fälle, kann man jedoch beherrschen,
indem man anstatt der komplementären eine andere Verwandt-
schaft einführt, die wir vorwegnehmend als Antiorthogonali-
sation (2. Art) bezeichnen wollen. Sie besteht, wie ihr Name
genügend andeutet, einfach darin, daß man die Substitutionen der
Orthogonalisation zweiter Art in umgekehrter Reihenfolge ausführt.
So kann man z. B. die eine der drei Formeln, die für das G|(a, b, c, l,
m, n) gelten, etwa die Gleichung chl — — chmchn + shmshncha
in die Formel cos z = — cos /j, cos v + sin /z sin v cha für das
Gg(a, b, c, 2, /z, r) überführen, ein Übergang, der vom Standpunkte
der komplementären Figuren unmöglich erscheint, wie dies Herr
Roeser in der unter8) genannten Arbeit richtig hervorhebt.
Der Nutzen, welchen die Antiorthogonalisation uns leistet,
liegt auf der Hand: es genügt immer nur für ein G” die Formeln
aufzustellen, diejenigen für alle in der Tafel vorangehenden Polygone
gewinnt man dann eben mittels der genannten Operation. Die
Formeln für ein Vollorthogon findet man aber gewiß leichter als
diejenigen für das zugehörige G°, da sie einfacher und nicht so
zahlreich sind. Nachdem man so die Formeln für das betreffende
Vollorthogon aufgestellt hat, wird unsere Operation ausgeführt nach
dem Schema: Zuerst werden die Seiten und Winkel beider Vielecke
in geeigneter Weise gepaart, sodann beachtet man, welche Seiten
zweimal, nur einmal oder überhaupt nicht antiorthogonalisiert
werden um danach die bezüglichen Substitutionen berechnen zu
können.
9) Vgl. z. B. das Buch: H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 1923,
§10.
10) Vgl. die unter 8) erwähnte Arbeit.