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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0015
Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe.
15
tative Gruppen sind derart, daß die Elemente von & sämtlich
die Ordnung 2, die von 11 sämtlich ungerade Ordnung haben.
Dies folgt aus 1. und 2. mit den üblichen Schlüssen 10).
Ist nun 21 eine HAMiLTONscheGruppe mit endlich viel Erzeugen-
den, so kann man also 21 ebenfalls als direktes Produkt Q X ® X 11
darstellen, wo jetzt allerdings 6) und 11 als endliche Abelsche
Gruppen direktes Produkt endlicher Zyklen sind. Wegen 2,5 und
2,6 wird also die im Anfang dieser Nr. aufgestellte Behauptung
bewiesen sein, wenn wir noch zeigen:
4. Jede situationstreue Abbildung der Quaternionengruppe läßt
sich zu einem Isomorphismus erweitern.
Dies folgt aus 2,6, wenn man bedenkt, daß sich D durch drei
Erzeugende a, b, c darstellen läßt, zwischen denen die folgenden
Beziehungen bestehen: ab = c, bc = a, ca = b, a2 = b2 = c2,
cP = b4 = c4 = 1.
4. Die Struktur einer kommutativen Gruppe 21 mit endlich viel
Erzeugenden ist durch die Situation der Untergruppen bestimmt.
Da sich 21 als direktes Produkt von endlich viel zyklischen
Gruppen darstellen läßt n), so genügt es wegen 2,5 und 2,6, die
obige Aussage für unendliche zyklische Gruppen zu beweisen.
Sei also oc eine situationstreue Abbildung des unendlichen
Zyklus ß = (j) auf die Gruppe 3i- Dann ist 3i wegen 3, 1 kommu-
tativ, da alle Untergruppen von 3i Normalteiler sind, und kein
Element von 3i endliche Ordnung hat. Setzen wir = 3»
für n > 0, so ist 3W die einzige Untergruppe von 3u deren Index
gerade n ist.
Sei ein Element aus 3i derart, daß die Gleichung p1 -
für n > 1 in 3i unlösbar ist. Ein solches Element gibt es, da es
in 3 und also auch in 3i keine unendlichen Obergruppenketten
und keine Elemente endlicher Ordnung gibt.
Notwendig ist (^) = 3n für geeignetes n > 0. Da die n-ten
Potenzen von Elementen aus 3i eine Untergruppe von 3zl bilden
und da 3n die einzige Untergruppe vom Index n ist, so ist jedes
Element aus 3n n-te Potenz, also auch g17 also n = 1, d. h. 3i = (ih)>
woraus das Behauptete folgt.
Aus dem in Nr. 3. und 4. Bewiesenen folgt:
Die Struktur einer Gruppe mit endlich viel Erzeugenden, deren
10) Vgl. R. Dedekind, Ges. Werke Bd. II, Braunschweig 1931, S. 87—102.
Wendt, Math. Ann. Bd. 59 (1904), S. 187—192.
u) Vgl. etwa van der Waerden, Moderne Algebra II, Berlin 1931, S. 128.
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tative Gruppen sind derart, daß die Elemente von & sämtlich
die Ordnung 2, die von 11 sämtlich ungerade Ordnung haben.
Dies folgt aus 1. und 2. mit den üblichen Schlüssen 10).
Ist nun 21 eine HAMiLTONscheGruppe mit endlich viel Erzeugen-
den, so kann man also 21 ebenfalls als direktes Produkt Q X ® X 11
darstellen, wo jetzt allerdings 6) und 11 als endliche Abelsche
Gruppen direktes Produkt endlicher Zyklen sind. Wegen 2,5 und
2,6 wird also die im Anfang dieser Nr. aufgestellte Behauptung
bewiesen sein, wenn wir noch zeigen:
4. Jede situationstreue Abbildung der Quaternionengruppe läßt
sich zu einem Isomorphismus erweitern.
Dies folgt aus 2,6, wenn man bedenkt, daß sich D durch drei
Erzeugende a, b, c darstellen läßt, zwischen denen die folgenden
Beziehungen bestehen: ab = c, bc = a, ca = b, a2 = b2 = c2,
cP = b4 = c4 = 1.
4. Die Struktur einer kommutativen Gruppe 21 mit endlich viel
Erzeugenden ist durch die Situation der Untergruppen bestimmt.
Da sich 21 als direktes Produkt von endlich viel zyklischen
Gruppen darstellen läßt n), so genügt es wegen 2,5 und 2,6, die
obige Aussage für unendliche zyklische Gruppen zu beweisen.
Sei also oc eine situationstreue Abbildung des unendlichen
Zyklus ß = (j) auf die Gruppe 3i- Dann ist 3i wegen 3, 1 kommu-
tativ, da alle Untergruppen von 3i Normalteiler sind, und kein
Element von 3i endliche Ordnung hat. Setzen wir = 3»
für n > 0, so ist 3W die einzige Untergruppe von 3u deren Index
gerade n ist.
Sei ein Element aus 3i derart, daß die Gleichung p1 -
für n > 1 in 3i unlösbar ist. Ein solches Element gibt es, da es
in 3 und also auch in 3i keine unendlichen Obergruppenketten
und keine Elemente endlicher Ordnung gibt.
Notwendig ist (^) = 3n für geeignetes n > 0. Da die n-ten
Potenzen von Elementen aus 3i eine Untergruppe von 3zl bilden
und da 3n die einzige Untergruppe vom Index n ist, so ist jedes
Element aus 3n n-te Potenz, also auch g17 also n = 1, d. h. 3i = (ih)>
woraus das Behauptete folgt.
Aus dem in Nr. 3. und 4. Bewiesenen folgt:
Die Struktur einer Gruppe mit endlich viel Erzeugenden, deren
10) Vgl. R. Dedekind, Ges. Werke Bd. II, Braunschweig 1931, S. 87—102.
Wendt, Math. Ann. Bd. 59 (1904), S. 187—192.
u) Vgl. etwa van der Waerden, Moderne Algebra II, Berlin 1931, S. 128.