Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

16 Reinhold Baer: Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe.

sämtliche Untergruppen Normalteiler sind, ist durch die Situation-
der Untergruppen bestimmt.
5. Die situationstreue Abbildung oc der abzahlbaren Gruppe 21
läßt sich [dann und nur dannJ zu einem Isomorphismus erweitern,
wenn dies für alle Untergruppen von 21 mit endlich viel Erzeugenden
gilt12)-
Ist a ein beliebiges Element aus 21, so läßt sich die situations-
treue Abbildung oc von (a) auf a[(d)] auf wenigstens eine und auf
höchstens endlich viele Weisen zu einem Isomorphismus erweitern.
Ist weiter ax, a2, . . ., an, . . . irgendeine Abzählung von 21 und 2In
die von ax, . . ., an erzeugte Untergruppe von 21, so läßt sich nach
Voraussetzung und nach dem eben Bemerkten die situationstreue
Abbildung oc von <An auf wenigstens eine und auf höchstens endlich
viele Weisen zu einem Isomorphismus erweitern. Diese Erweiterungs-
isomorphismen von oc in 2In seien: ocn^, wobei n V 1 für
jedes n ist. Jedes ocni umfaßt genau ein ockJ mit k < n.
ocni heiße 5 Schritte fortsetzbar, wenn es ein ocni umfassendes
ocn+St k, aber kein ocn>i umfassendes <x-n+s+ltk gibt. i heißt unbe-
schränkt fortsetzbar, wenn es keine derartige Zahl 5 gibt. Dann gilt:
Für jedes n gibt es unter den ocni wenigstens ein unbeschränkt
fortsetzbares.
Wäre das nicht wahr, so wäre etwa s{ Schritte fortsetzbar.
Ist dann s = Max [Sj, . . ., sn], so umfaßt jedes as+1J genau ein ocni,
das also s + 1 > si Schritte fortsetzbar wäre. Widerspruch!
Es sei jetzt ßk irgendein oc umfassender, unbeschränkt fort-
setzbarer Isomorphismus von 2fx. — Sei bereits ßk, . . ., ßn kon-
struiert, so daß ßt ein unbeschränkt fortsetzbarer, und oc um¬
fassender Isomorphismus von 2l.z ist. Dann gibt es auch wenigstens-
einen ßn und oc umfassenden, unbeschränkt fortsetzbaren Isomor-
phismus ßn+1 von 2lw+1, da anderenfalls ßn nicht unbeschränkt fort-
setzbar wäre. — Da ßn von ßn+1 umfaßt wird, so bestimmt die
Folge ßk, ■ ■ ßn, ßn+1, ■ ■ ■ eindeutig einen Vereinigungsisomorphis-
mus ß, und dieser muß oc umfassen.
6. Es sei E die Gesamtheit der Untergruppen von 21 mit endlich
viel Erzeugenden. Dann gilt:
Jede E-situationstreue Abbildung einer abzahlbaren Gruppe 21,
12) Hieraus folgt z. B., daß jede situationstreue Abbildung einer primären
kommutativen Gruppe vom Range 1 [im Sinne von H. Prüfer: Math. Zeitschr.
Bd. 17 (1923), S. 35—61, bes. §5] sich zu einem Isomorphismus erweitern läßt,
wenn man noch 2,6 bedenkt.