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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0029
Walther Rückert: Über die Elimination bei Potenzreihen. 29
»
daß eine weitgehende und vom projektiven Standpunkt sehr
wünschenswerte Verallgemeinerung der Schmeidlerschen Sätze
ohne wesentliche Schwierigkeiten gewonnen werden kann.
Uber die Elimination bei Potenzreihen.
Von Walther Rückert in Heidelberg.
In einer früheren Arbeitx) wurde mit Hilfe der Idealtheorie
gezeigt, daß die gemeinsamen Nullstellen eines Systems von im
Nullpunkt verschwindenden Potenzreihen in n komplexen Variablen
-PiUl, ‘^'2? • " ^n) h ‘ ‘ "> ^0
eine endliche Anzahl irreduzibler analytischer Gebilde ausmachen,
deren jedes eine Parameterdarstellung durch ein System algebroider
Funktionen zuläßt. Die vorliegende Note enthält zwei Bemerkungen
zu dieser Arbeit.
Wir werden erstens zeigen, daß aus dem früher Bewiesenen
fast unmittelbar die Gültigkeit des Hilbertschen Nullstellensatzes
für Potenzreihen in n Variablen folgt. Wir werden zweitens beweisen,
daß sich die gemeinsamen Nullstellen des Systems mit der Kro-
neckerschen Eliminationsmethode bestimmen lassen.
§ 1. Der Hilbertsche Nullstellensatz für Potenzreihen.
Zu Grunde gelegt sei der Bereich Jn der konvergenten Potenz-
reihen von n Variablen ay, x2, . . . , xn. Wenn wir im Folgenden
durch Transformation zu andern Variablen rrj, x2, . . ., xn über-
gehen, so werden wir den entsprechenden Bereich ebenfalls mit Jn
bezeichnen.
Wir betrachten ein System von Elementen aus
(1) P^, X2, . . ., Xn) (f = 1, 2, . . ., 77?)
mit Pj(0, 0, . . ., 0) =0 und keinem Pi = 0. Wir behaupten nun
den folgenden Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):
Ist F(x1,x2, . . xn) ein Element aus Jn, das in allen gemein-
samen Nullstellen von (1) verschwindet, so gilt-.
F° = 0 P2, . . ., Pm),
wo q eine natürliche Zahl ist.
h W. Rückert, Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale, Math.
Ann. 107 (1932), S. 259/281 (zitiert Rü).
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daß eine weitgehende und vom projektiven Standpunkt sehr
wünschenswerte Verallgemeinerung der Schmeidlerschen Sätze
ohne wesentliche Schwierigkeiten gewonnen werden kann.
Uber die Elimination bei Potenzreihen.
Von Walther Rückert in Heidelberg.
In einer früheren Arbeitx) wurde mit Hilfe der Idealtheorie
gezeigt, daß die gemeinsamen Nullstellen eines Systems von im
Nullpunkt verschwindenden Potenzreihen in n komplexen Variablen
-PiUl, ‘^'2? • " ^n) h ‘ ‘ "> ^0
eine endliche Anzahl irreduzibler analytischer Gebilde ausmachen,
deren jedes eine Parameterdarstellung durch ein System algebroider
Funktionen zuläßt. Die vorliegende Note enthält zwei Bemerkungen
zu dieser Arbeit.
Wir werden erstens zeigen, daß aus dem früher Bewiesenen
fast unmittelbar die Gültigkeit des Hilbertschen Nullstellensatzes
für Potenzreihen in n Variablen folgt. Wir werden zweitens beweisen,
daß sich die gemeinsamen Nullstellen des Systems mit der Kro-
neckerschen Eliminationsmethode bestimmen lassen.
§ 1. Der Hilbertsche Nullstellensatz für Potenzreihen.
Zu Grunde gelegt sei der Bereich Jn der konvergenten Potenz-
reihen von n Variablen ay, x2, . . . , xn. Wenn wir im Folgenden
durch Transformation zu andern Variablen rrj, x2, . . ., xn über-
gehen, so werden wir den entsprechenden Bereich ebenfalls mit Jn
bezeichnen.
Wir betrachten ein System von Elementen aus
(1) P^, X2, . . ., Xn) (f = 1, 2, . . ., 77?)
mit Pj(0, 0, . . ., 0) =0 und keinem Pi = 0. Wir behaupten nun
den folgenden Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):
Ist F(x1,x2, . . xn) ein Element aus Jn, das in allen gemein-
samen Nullstellen von (1) verschwindet, so gilt-.
F° = 0 P2, . . ., Pm),
wo q eine natürliche Zahl ist.
h W. Rückert, Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale, Math.
Ann. 107 (1932), S. 259/281 (zitiert Rü).