Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Walther Rückert:

Beweis. Wegen des Basissatzes 2) für Ideale aus Jn ist jedes
Ideal, also insbesondere (P17 P2, . . Pm) darstellbar als Durch-
schnitt von Primäridealen
(^15 -^25 • • •■> ^m) = [Ql, Q2, • • •, Qj]
mit eindeutig bestimmten zugehörigen Primidealen hi, • • •■> ps.
Ferner gilt
Qi = O(Pi) und p^ = O(qJ (f = 1, 2, . . . s),
wo Qi eine natürliche Zahl ist. Die Voraussetzung, daß F{x17 x2,..., xn)
in den gemeinsamen Nullstellen von (1) verschwindet, ist daher
gleichbedeutend damit, daß F(x1, x2, . . ., xn) in den Nullstellen
der bi verschwindet. Eine Potenzreihe, die in den gemeinsamen
Nullstellen eines Primideals verschwindet, gehört aber notwendig
dem Primideal an 3 4), also
7* (iCj, x2, • • • , xn) = 0 (hi) 1, 2, . . ., s),
folglich
FSi{x17 x2, . . ., xn) = 0(qt.)
und daraus, wenn q — Max (@17 q2, . . ., gg)
■Fe(*i,..z„) = 0 (Px, P2,. . ., Pm).
Damit ist der Satz bewiesen.
£ 2. Die Kroneckersehe Eliminationsmethode für Potenzreihen.
Wir betrachten wieder das System (1) aus Jn und beweisen
den folgenden Satz:
Nach Ausübung einer nicht singulären linearen Transformation
(n. s. I. T.) der Variablen x1? x2, . . ., xn läßt sich zu dem System (1)
bzw. dem transformierten System
(2) P'ßx'x, x'2, . . ., <) (i = 1,2,.. ., m)
ein System von m Potenzreihen angeben, das dieselben gemeinsamen
Nullstellen besitzt wie (2), wobei aber x'n nur zu endlichen Gradzahlen
ansteigt.
Beweis. Wir üben auf die Variablen x17 x2, . . ., xn eine n. s. 1. T.
in der Weise aus, daß dadurch Pßxr, x2, . . ., xn) in eine Reihe
P'ßx'y, x'2, . . ., x'^ übergeht, die in bezug auf xn regulär3) ist.
Nach dem Weierstraß’schen Vorbereitungssatz ist dann:

2) Vgl. Rü, § 3.
3) Vgl. Rü, S. 278.
4) Vgl. Rü, S. 261, 1.