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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0031
Über die Elimination bei Potenzreihen.
31
(3) P'^x\, 4, . . <) = Pi(^, x2, . . <) • E(x'^ x'2, . . x'n),
P* = Pn1 + (<4 4, • • <-l) +-H x'2, ..., x'^) ,
wobei (0, 0, . . ., 0) =0, £(0, 0, . . ., 0) =R 0 ist. Zum Zwecke der
Bestimmung der gemeinsamen Nullstellen von (2) in der Umgebung
des Nullpunktes können wir also P{(x'v x'2, . . ., x'n) ersetzen durch
P1 ('U, Xn) •
Nach einem zuerst von H. Späth für beliebigeVariablenzahl bewie-
senen allgemeineren Vorbereitungssatze 5) (Weierstraß’sche Formel)
läßt sich jedes Element B(x'x, x'2, . . ., x'n) aus Jn mittels P* in Jn
wie folgt zerlegen:
x2, . . x’n) = P*Q + x'^-1 x'2. . + • • •
d~ Aä.i(t:1, x2, . . ., xn_1).
Es gilt also auch:
(4) Pfä, x-,. . , <) = P* Qt + <*■"* A» + • • • + A«>
(£=2,3,.. m).
Aus (3) und (4) erkennt man aber, daß das System
(5)
p* _ I aW(t' \r'ki—I I . . . I A T'
P* zllO/zy.' zv.' zy.' \zy.'*l — 1 I . . . i A (t) (v' v'
ri Zlj Jz2, . . Uz2, .
(i = 2, 3, . . m)
dieselben gemeinsamen Nullstellen besitzt wie (2), womit die Be-
hauptung bewiesen ist.
In (5) kann man nun x'n wie bei Polynomen 6) mittels eines
Besultantensystems
4, . . ., (j = 1,2,..., A)
eliminieren. Dabei ist D/zj, x2, . . ., ^_x) eine im Nullpunkt ver-
schwindende Potenzreihe von , a;2, . . ., die sich aus den
Koeffizienten von (5) in ganz rationaler Weise berechnet. Die
sämtlichen gemeinsamen Nullstellen des Resultantensystems führen
zu den sämtlichen gemeinsamen Nullstellen des Systems (5) und damit
des Systems (2). Das Resultantensystem wird nun ev. nach Aus-
übung einer weiteren n. s. 1. T. auf die Variablen x'^ x2, . . x^_±
genau so behandelt wie (2). So kann man die Variablen sukzessive
eliminieren, bis man nach r (r A zi) Schritten zu einem System
5) H. Späth, Der WEiERSTRASssche Vorbereitungssatz, Journ. f. reine
u. angew. Math. 161 (1929), S. 95—100. Siehe auch Rü, S. 161, 2.
6) Vgl. B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra, Bd. 2 (1931), Springer
Berlin, S. 8—10.
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(3) P'^x\, 4, . . <) = Pi(^, x2, . . <) • E(x'^ x'2, . . x'n),
P* = Pn1 + (<4 4, • • <-l) +-H x'2, ..., x'^) ,
wobei (0, 0, . . ., 0) =0, £(0, 0, . . ., 0) =R 0 ist. Zum Zwecke der
Bestimmung der gemeinsamen Nullstellen von (2) in der Umgebung
des Nullpunktes können wir also P{(x'v x'2, . . ., x'n) ersetzen durch
P1 ('U, Xn) •
Nach einem zuerst von H. Späth für beliebigeVariablenzahl bewie-
senen allgemeineren Vorbereitungssatze 5) (Weierstraß’sche Formel)
läßt sich jedes Element B(x'x, x'2, . . ., x'n) aus Jn mittels P* in Jn
wie folgt zerlegen:
x2, . . x’n) = P*Q + x'^-1 x'2. . + • • •
d~ Aä.i(t:1, x2, . . ., xn_1).
Es gilt also auch:
(4) Pfä, x-,. . , <) = P* Qt + <*■"* A» + • • • + A«>
(£=2,3,.. m).
Aus (3) und (4) erkennt man aber, daß das System
(5)
p* _ I aW(t' \r'ki—I I . . . I A T'
P* zllO/zy.' zv.' zy.' \zy.'*l — 1 I . . . i A (t) (v' v'
ri Zlj Jz2, . . Uz2, .
(i = 2, 3, . . m)
dieselben gemeinsamen Nullstellen besitzt wie (2), womit die Be-
hauptung bewiesen ist.
In (5) kann man nun x'n wie bei Polynomen 6) mittels eines
Besultantensystems
4, . . ., (j = 1,2,..., A)
eliminieren. Dabei ist D/zj, x2, . . ., ^_x) eine im Nullpunkt ver-
schwindende Potenzreihe von , a;2, . . ., die sich aus den
Koeffizienten von (5) in ganz rationaler Weise berechnet. Die
sämtlichen gemeinsamen Nullstellen des Resultantensystems führen
zu den sämtlichen gemeinsamen Nullstellen des Systems (5) und damit
des Systems (2). Das Resultantensystem wird nun ev. nach Aus-
übung einer weiteren n. s. 1. T. auf die Variablen x'^ x2, . . x^_±
genau so behandelt wie (2). So kann man die Variablen sukzessive
eliminieren, bis man nach r (r A zi) Schritten zu einem System
5) H. Späth, Der WEiERSTRASssche Vorbereitungssatz, Journ. f. reine
u. angew. Math. 161 (1929), S. 95—100. Siehe auch Rü, S. 161, 2.
6) Vgl. B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra, Bd. 2 (1931), Springer
Berlin, S. 8—10.