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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0037
Friedrich Karl Schmidt: Körper, über denen jede Gleichung usw.
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wendbar ist, so ist doch der Gedanke naheliegend, daß es bei
entsprechender Erweiterung der FuETERschen Methode, unter Bei-
ziehung unseres Aequivalenzsatzes (L), gelingen müßte, die Fermat-
sche Vermutung auch in solchen Fällen zu bestätigen, in denen
dies bis jetzt noch nicht gelungen ist.
Körper,
über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.
Von Friedrich Karl Schmidt in Erlangen.
1. Fragestellung. Die vorliegende Note knüpft an eine Frage
an, die den Ausgangspunkt der klassischen Algebra gebildet hat,
nämlich an die Frage, ob jede algebraische Gleichung durch Ra-
dikale auflösbar sei. Legt man als Grundkörper den Körper der
rationalen Zahlen oder allgemeiner einen algebraischen Zahlkörper
endlichen Grades zugrunde und faßt alle algebraischen Gleichungen
mit Koeffizienten aus einem solchen Grundkörper ins Auge, so ist
diese Frage bekanntlich zu verneinen. Ganz anders liegen dagegen
die Verhältnisse sobald man auch unendliche algebraische Zahl-
körper in den Kreis der Betrachtung zieht. Selbst wenn man von
dem trivialen Fall des Körpers aller algebraischen Zahlen absieht,
lassen sich leicht Beispiele unendlicher algebraischer Zahlkörper
angeben, über denen in der Tat jede Gleichung durch Radikale
aufgelöst werden kann. Man denke etwa an den Körper aller reellen
algebraischen Zahlen, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel,
nämlich i, algebraisch abgeschlossen wird. \ Oder man ziehe aus
dem Körper aller /7-adischen Zahlen den größten absolut algebra-
ischen Unterkörper heraus und erhält so einen algebraischen
Zahlkörper, von dem man auf Grund HENSELscher Resultate leicht
zeigt, daß er die gewünschte Eigenschaft hat. Und dasselbe gilt
natürlich von jedem algebraischen Zahlkörper, der zu den ge-
nannten isomorph ist, ohne daß jedoch durch alle diese Körper
und ihre algebraischen Erweiterungen bereits die Gesamtheit der
in Betracht kommenden Körper erschöpft wäre.
Wie läßt sich nun aber diese Gesamtheit aller algebraischen
Zahlkörper A über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar
ist, charakterisieren ? Zur Lösung der Aufgabe, die damit gestellt
ist, wollen die nachstehenden Überlegungen einen Beitrag liefern.
2. Ergebnisse. Dabei beschränke ich mich im folgenden zu-
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wendbar ist, so ist doch der Gedanke naheliegend, daß es bei
entsprechender Erweiterung der FuETERschen Methode, unter Bei-
ziehung unseres Aequivalenzsatzes (L), gelingen müßte, die Fermat-
sche Vermutung auch in solchen Fällen zu bestätigen, in denen
dies bis jetzt noch nicht gelungen ist.
Körper,
über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.
Von Friedrich Karl Schmidt in Erlangen.
1. Fragestellung. Die vorliegende Note knüpft an eine Frage
an, die den Ausgangspunkt der klassischen Algebra gebildet hat,
nämlich an die Frage, ob jede algebraische Gleichung durch Ra-
dikale auflösbar sei. Legt man als Grundkörper den Körper der
rationalen Zahlen oder allgemeiner einen algebraischen Zahlkörper
endlichen Grades zugrunde und faßt alle algebraischen Gleichungen
mit Koeffizienten aus einem solchen Grundkörper ins Auge, so ist
diese Frage bekanntlich zu verneinen. Ganz anders liegen dagegen
die Verhältnisse sobald man auch unendliche algebraische Zahl-
körper in den Kreis der Betrachtung zieht. Selbst wenn man von
dem trivialen Fall des Körpers aller algebraischen Zahlen absieht,
lassen sich leicht Beispiele unendlicher algebraischer Zahlkörper
angeben, über denen in der Tat jede Gleichung durch Radikale
aufgelöst werden kann. Man denke etwa an den Körper aller reellen
algebraischen Zahlen, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel,
nämlich i, algebraisch abgeschlossen wird. \ Oder man ziehe aus
dem Körper aller /7-adischen Zahlen den größten absolut algebra-
ischen Unterkörper heraus und erhält so einen algebraischen
Zahlkörper, von dem man auf Grund HENSELscher Resultate leicht
zeigt, daß er die gewünschte Eigenschaft hat. Und dasselbe gilt
natürlich von jedem algebraischen Zahlkörper, der zu den ge-
nannten isomorph ist, ohne daß jedoch durch alle diese Körper
und ihre algebraischen Erweiterungen bereits die Gesamtheit der
in Betracht kommenden Körper erschöpft wäre.
Wie läßt sich nun aber diese Gesamtheit aller algebraischen
Zahlkörper A über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar
ist, charakterisieren ? Zur Lösung der Aufgabe, die damit gestellt
ist, wollen die nachstehenden Überlegungen einen Beitrag liefern.
2. Ergebnisse. Dabei beschränke ich mich im folgenden zu-