Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Karl Schmidt:

nächst auf eine spezielle Klasse solcher Körper A, nämlich auf die-
jenigen, die zugleich Normalkörper N über dem Körper P der
rationalen Zahlen sind. Diese engere Klasse von Körpern A = N
kann ich wirklich vollständig kennzeichnen. Sie besteht nämlich,
wie ich zeigen werde, allein aus dem Körper aller algebraischen
Zahlen, der ja trivialerweise in ihr enthalten ist; d. h. ich beweise
den Satz:
r. Ein Normalkörper N/P, über dem jede Gleichung durch Ra-
dikale auflösbar ist, stimmt stets überein mit dem Körper aller alge-
gebraischen Zahlen.
Hieraus ergibt sich dann sogleich eine notwendige Bedingung,
der jeder beliebige Körper A genügen muß. Um dies einzusehen
schließt man so: Ist über A jede Gleichung durch Radikale auflösbar,
so ist das auch über je'der algebraischen Erweiterung von A der
Fall. Bezeichnet man daher den kleinsten Normalkörper N/P,
der A enthält, als die Norm von A/P, so stellt diese Norm gerade
einen Körper dar, der die Voraussetzungen des Satzes I' erfüllt.
Es gilt also:
II' Ist A ein beliebiger algebraischer Zahlkörper, über dem jede
Gleichung durch Radikale auflösbar ist, so stimmt die Norm von
A/P notwendig überein mit dem Körper aller algebraischen Zahlen.
Diese notwendige Bedingung ist wesentlich schärfer als die
Forderung, daß der Grad von A/P unendlich sein muß. Die Norm
N eines algebraischen Zahlkörpers von endlichem Grad P(a) er-
hält man nämlich offenbar dadurch, daß man zu P außer <x auch
noch alle übrigen Nullstellen oc', . . ., des irreduziblen Poly¬
noms adjungiert, das durch oc annulliert wird, N =P(<x, oc', . . .,
Die Norm eines algebraischen Zahlkörpers endlichen Grades be-
sitzt also wieder einen endlichen Grad und stimmt daher sicher
nicht mit dem Körper aller algebraischen Zahlen überein. Ander-
seits kann man aber auch leicht beliebig viele Beispiele unendlicher
algebraischer Zahlkörper angeben, deren Norm nicht algebraisch
abgeschlossen ist1).
3. Verallgemeinerung. Bisher habe ich der Einfachheit
und Deutlichkeit halber nur von algebraischen Zahlkörpern ge-
sprochen. Die Sätze F und II' lassen sich jedoch sinngemäß auf
beliebige Körper ausdehnen.
x) Ob die Bedingung des Satzes II hinreichend dafür ist, daß über einem
Körper jede Gleichung durch Radikale aufgelöst werden kann, vermag ich
noch nicht zu entscheiden.