Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Körper, über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.

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Jeder beliebige Körper K ist, nach Steinitz2) algebraisch
über einem rein transzendenten Unterkörper 7c, d. h. über einem
Unterkörper, der aus dem Primkörper von K durch Adjunktion
einer Menge U unabhängiger Unbestimmter entsteht. Einen solchen
Unterkörper k nenne ich einen transzendenten Kern von K. Dabei
ist allerdings hervorzuheben, daß die Unbestimmtenmenge U
unter Umständen leer ist, d. h. der Primkörper von K kann selbst
bereits ein transzendenter Kern sein, und zwar tritt das dann und
nur dann ein, wenn K über seinem Primkörper algebraisch — kurz:
absolut algebraisch — ist. In diesem Falle ist der Primkörper der
einzige transzendente Kern von A, in jedem anderen besitzt dagegen
K unendlich viele verschiedene transzendente Kerne.
Mit Hilfe des Begriffs des transzendenten Kerns lassen sich
die Sätze I' und II' bereits auf beliebige Körper der Charakteristik
0 übertragen. Für die Körper K von Primzahlcharakteristik p,
die nicht absolut algebraisch sind, ist jedoch noch eine Bemerkung
nötig. Über einem solchen Körper K läßt sich nämlich jede alge-
braische Erweiterung A* aufspalten in eine größte separable alge-
braische Erweiterung A* , die aus allen in A* enthaltenen Null-
stellen separabler Polynome3) über K besteht, und eine nach-
folgende voll-inseparable4) algebraische Erweiterung, die durch
Radikale der Form ]/cc erzeugt wird. Da also K*IK% stets durch
Radikale aufgebaut werden kann, werden bei unseren Überlegungen
gerade die separablen algebraischen Erweiterungen K^fK eine
besondere Rolle spielen.
Ich beginne nun mit der Verallgemeinerung von II' und habe

2) Für alle im Text benutzten Begriffe und Sätze aus der allgemeinen
Körpertheorie sei ein für alle Mal verwiesen auf E. Steinitz, Algebraische
Theorie der Körper, J. reine angew. Math. 137 (1910). — Neudruck, heraus-
gegeben von R. Baer und H. Hasse, Berlin 1930.
3) Im Anschluß an van der Waerden verwende ich im folgenden die
Bezeichnung „separabel“ an Stelle des STEiNiTzschen „von erster Art“. Ein
separables Polynom ist also ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen, eine
separable algebraische Erweiterung eine solche, die durch Nullstellen separabler
Polynome über dem Grundkörper entsteht, und es heißt ein Körper separabel-
algebraisch abgeschlossen, wenn über ihm jedes separable Polynom in Linear-
faktoren zerfällt.
4) Ich nenne ein Polynom voll-inseparabel, wenn es nur eine, mehr-
fach zu zählende Nullstelle besitzt, und eine algebraische Erweiterung voll-
inseparabel, wenn ihre Elemente sämtlich Nullstellen voll-inseparabler Poly-
nome über dem Grundkörper sind.