Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Karl Schmidt:

daher noch die Norm von K*/K zu erklären, wo K*/K algebraisch
ist. Unter dieser Norm verstehe ich selbstverständlich wieder den
kleinsten Normalkörper NfK, der K* enthält. Dann gilt:
II. Ist A ein Körper, über dem jede Gleichung durch Radikale
auflösbar- ist, so ist entweder A absolut algebraisch und von Prim-
zahlcharakteristik, oder die Norm von A über einem beliebigen trans-
zendenten Kern ist sep ar ab el-algebraisch abgeschlossen.
Satz II umfaßt offenbar II', denn ein algebraischer Zahlkörper
hat die Charakteristik 0 und besitzt den Körper der rationalen
Zahlen als transzendenten Kern. Andererseits stellen die im ersten
Teil von II angeführten absolut algebraischen Körper von Primzahl-
charakteristik aber auch wirklich eine Ausnahme von der im zweiten
Teil ausgesprochenen Regel dar. Über einem absolut algebraischen
Körper von Primzahlcharakteristik ist nämlich stets jede Gleichung
durch Radikale auflösbar; gleichzeitig ist ein solcher Körper stets
normal über seinem Primkörper und genügt daher im allgemeinen
keineswegs der Bedingung des zweiten Teils von II.
Der Beweis von II ergibt sich, entsprechend wie der von II',
aus der Kennzeichnung einer engeren Klasse von Körpern A, über
denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist. Diese Kenn-
zeichnung stellt die Verallgemeinerung von P dar und lautet:
I. A sei ein Körper, der nicht gleichzeitig absolut algebraisch
und von Primzahlcharakteristik ist. Ist dann A Normalkörper über
einem transzendenten Kern und jede Gleichung über A durch Radikale
auflösbar, so ist A separabel-algebraisch abgeschlossen.
4. Beweismittel. Bei der Begründung der angegebenen Re-
sultate kommt es nach dem gesagten nur noch auf die Herleitung
von 1 an. Dazu ziehe ich die Bewertungstheorie heran, deren Be-
deutung für die gegenwärtige Untersuchung ja schon aus den in
Nr. 1 zusammengestellten Beispielen erhellt, und zwar stütze ich
mich auf zweierlei. Einmal auf die GALOissche Theorie bewerteter
Körper, wie sie von W. Krull und M. Deuring entwickelt worden
ist 5); gerade um diese Theorie anwenden zu können, muß ich mich
auf die Kennzeichnung derjenigen Körper A beschränken, die zu-
gleich normal über einem transzendenten Kern sind. Andererseits
benutze ich die Schlußweisen und Resultate meiner kürzlich in den
mathematischen Annalen erschienenen Arbeit über mehrfach
5) W. Krull, Galoische Theorie bewerteter Körper, Sitzungsber. d. bay.
Akad. d. Wiss. 1930. — M. Deuring, Verzweigungstheorie bewerteter Körper,
Math. Ann. 105 (1931).