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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0041
Körper, über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.
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perfekte Körper 6), mit deren Hilfe ich von bewertungstheoretischen
Eigenschaften auf die behauptete separabel-algebraische Abge-
schlossenheit schließe.
In den folgenden Nr. 5—7 werde ich zunächst die später be-
nötigten Tatsachen zusammenstellen, wobei es sich zum größeren
Teil um bekannte, zum kleineren um einfache neue Sätze handelt.
In Nr. 8 formuliere ich dann den Hauptsatz dieser Note, der eine
bedeutend erweiterte, bewertungstheoretische Fassung von I dar-
stellt und beweise den Hauptsatz.
5. Bewertungstheoretische Tatsachen, a) Unter einer
Bewertung7) eines Körpers k versteht man bekanntlich eine für
die von Null verschiedenen Elemente <%, ß, . . . von k erklärte reelle
Funktion w, die für mindestens ein Element aus k von Null ver-
schieden ist und folgende Eigenschaften besitzt:
(1) w(ocß) = w(oc) + w(ß), (2) w(oc + /?) A min [w(a), w(ß)].
Die Zahlen des Wertevorrats von w bilden dann eine Gruppe
hinsichtlich der Addition, die sog. Wertgruppe von k bei der Be-
wertung w. Die Bewertung heißt diskret, wenn die Wertgruppe zur
Gruppe der ganzen rationalen Zahlen isomorph ist.
b) Zc* sei ein Oberkörper von k. Eine Bewertung w* von k*,
die für die Elemente von k mit w übereinstimmt, wird eine Fort-
setzung von w auf k* genannt. Ist k*lk algebraisch, so besitzt jede
Bewertung w von k mindestens eine Fortsetzung w* auf Zc*; dabei
ist die Fortsetzung einer diskreten Bewertung im Falle endlichen
Grades von Zc*/Zc wiederum diskret.
c) Zu jeder Bewertung w von k gehört ein eindeutig bestimmter
Bewertungsring B und ein Primideal p von B, wobei B aus allen
Körperelementen ß mit w(ß) A 0 und p aus allen Körperelementen
jt mit w(pt) > 0 besteht. Die Beziehung zwischen Bewertung und
Bewertungsring ist besonders anschaulich, wenn die Bewertung
diskret ist. In diesem Fall ist das Primideal p ein Hauptideal,
p) = (rc), alle Ideale von B werden durch die Potenzen von p er-
schöpft und die Werte der einzelnen Körperelemente stimmen
6) F. K. Schmidt, Mehrfach perfekte Körper, Math. Ann. 108 (1933).
7) Die im Text auseinandergesetzte Bewertung bezeichnet man auch als
Exponentenbewertung im Gegensatz zu der von Kürschak eingeführten Be-
wertung, die unmittelbar an den absoluten Betrag anknüpft; zwischen diesen
beiden Arten der Bewertung besteht jedoch eine enge Beziehung. Vergleiche
hierzu wie zu den im folgenden angegebenen bewertungstheoretischen Tat-
sachen: H. Hasse und F. K. Schmidt, Die Struktur diskret bewerteter Körper,
J. reine angew. Math. 1933, Einleitung, § 2 und 3.
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perfekte Körper 6), mit deren Hilfe ich von bewertungstheoretischen
Eigenschaften auf die behauptete separabel-algebraische Abge-
schlossenheit schließe.
In den folgenden Nr. 5—7 werde ich zunächst die später be-
nötigten Tatsachen zusammenstellen, wobei es sich zum größeren
Teil um bekannte, zum kleineren um einfache neue Sätze handelt.
In Nr. 8 formuliere ich dann den Hauptsatz dieser Note, der eine
bedeutend erweiterte, bewertungstheoretische Fassung von I dar-
stellt und beweise den Hauptsatz.
5. Bewertungstheoretische Tatsachen, a) Unter einer
Bewertung7) eines Körpers k versteht man bekanntlich eine für
die von Null verschiedenen Elemente <%, ß, . . . von k erklärte reelle
Funktion w, die für mindestens ein Element aus k von Null ver-
schieden ist und folgende Eigenschaften besitzt:
(1) w(ocß) = w(oc) + w(ß), (2) w(oc + /?) A min [w(a), w(ß)].
Die Zahlen des Wertevorrats von w bilden dann eine Gruppe
hinsichtlich der Addition, die sog. Wertgruppe von k bei der Be-
wertung w. Die Bewertung heißt diskret, wenn die Wertgruppe zur
Gruppe der ganzen rationalen Zahlen isomorph ist.
b) Zc* sei ein Oberkörper von k. Eine Bewertung w* von k*,
die für die Elemente von k mit w übereinstimmt, wird eine Fort-
setzung von w auf k* genannt. Ist k*lk algebraisch, so besitzt jede
Bewertung w von k mindestens eine Fortsetzung w* auf Zc*; dabei
ist die Fortsetzung einer diskreten Bewertung im Falle endlichen
Grades von Zc*/Zc wiederum diskret.
c) Zu jeder Bewertung w von k gehört ein eindeutig bestimmter
Bewertungsring B und ein Primideal p von B, wobei B aus allen
Körperelementen ß mit w(ß) A 0 und p aus allen Körperelementen
jt mit w(pt) > 0 besteht. Die Beziehung zwischen Bewertung und
Bewertungsring ist besonders anschaulich, wenn die Bewertung
diskret ist. In diesem Fall ist das Primideal p ein Hauptideal,
p) = (rc), alle Ideale von B werden durch die Potenzen von p er-
schöpft und die Werte der einzelnen Körperelemente stimmen
6) F. K. Schmidt, Mehrfach perfekte Körper, Math. Ann. 108 (1933).
7) Die im Text auseinandergesetzte Bewertung bezeichnet man auch als
Exponentenbewertung im Gegensatz zu der von Kürschak eingeführten Be-
wertung, die unmittelbar an den absoluten Betrag anknüpft; zwischen diesen
beiden Arten der Bewertung besteht jedoch eine enge Beziehung. Vergleiche
hierzu wie zu den im folgenden angegebenen bewertungstheoretischen Tat-
sachen: H. Hasse und F. K. Schmidt, Die Struktur diskret bewerteter Körper,
J. reine angew. Math. 1933, Einleitung, § 2 und 3.